Va rog sa ma ajutati la urm probleme:

1. Sa se arate ca ecuatia

nu poate avea in mulltimea nr intregi decat solutia x=y=z=0.

2. a si b sunt nr reale nenule astfel incat a+b=1.
sa se arate ca

.

1. Presupunem ca x,y,z sunt diferite de 0.

Deci termenul din dreapta este multiplu de 10.Inseamna ca si cel din stanga este multiplu de 10, deci are ultima cifra 0.Sunt doua posibilitati:
1)

are ultima cifra 0 si

are ultima cifra 0.
2)

are ultima cifra 5 si

are ultima cifra 5.

Vom lua pe rand cele 2 cazuri:
1) Daca

are ultima cifra 0 atunci x este multiplu de 10 si putem scrie

unde p nu este multiplu de 10, la fel si pt y putem scrie

unde q nu este multiplu de 10.
Inlocuim in ecuatie si obtinem :

Impartim relatia prin 10:

Se vede ca termenul din stanga este multiplu de 10 , inseamna ca si z este multiplu de 10 si-l putem scrie

Inlocuim z si obtinem :

Sa presupunem ca

este puterea cea mai mica, la fel se face si in celelalte cazuri.Impartim prin

relatia:

Se observa membrul stang nu este multiplu de 10 pe cand cel din dreapta este.Contradictie.
2)Daca

are ultima cifra 5 atunci il putem scrie pe x :

unde p nu este multiplu de 5.La fel y si aplicam acelasi rationament ca la 1) si obtinem din nou contradictie.

Puterile de numere intregi de grad zece sunt modulo zece:

Dupa cum se vede, se poate poate cupla si un x de forma *1 cu un y de forma *7 in speranta de a da de o solutie. Nu am mai citit dupa ce am vazut ca sunt decat doua posibilitati...

Nota:
De obicei, cand solutia unei ecuatii diofantice in care intervine insistent fara extraveral o anumita putere N (la noi N este 10)

NU EXISTA

din motive de congruenta,
de cele mai multe ori ne uitam intai la congruente modulo ceva ce e cu indicator Euler (phi) egal cu N.
La noi, m-as uita la numarul 11, unsprezece, prim si bun:

(La olimpiada ne puteam opri la 5, pentru ca 6 este -5 mod 11...)

Deja, incercarea de potrivire modulo 11 a numerelor "netriviale" x,y,z (nu toate trei zero) conduce la descindere (descent, Abstieg) infinita...

Domnule profesor...am observat ca dvs. aveti un stil propriu de rezolvare...se pare ca va place foarte mult aceasta programare...dar ma indoiesc ca cineva pricepe ceea ce spuneti.Va spun aceasta pt ca mi-e teama ca va chinuiti de pomana sa scrieti lucrurile astea.Mult mai folositor ar fi o demonstratie clasica.Si plus ca am observat ca folositi 'modulo n' ceea ce nu apare la clasa a 8-a.Sper ca nu va suparati ca va spun acestea, dar munca dvs. cred ca e in zadar.Sper totusi sa ma insel.
Dar intr-adevar am observat ca am cam omis cazuri.Alta idee de rezolvare pt clasa a 8-a nu vad.

[Citat] Domnule profesor...am observat ca dvs. aveti un stil propriu de rezolvare...se pare ca va place foarte mult aceasta programare...dar ma indoiesc ca cineva pricepe ceea ce spuneti.Va spun aceasta pt ca mi-e teama ca va chinuiti de pomana sa scrieti lucrurile astea.Mult mai folositor ar fi o demonstratie clasica.Si plus ca am observat ca folositi 'modulo n' ceea ce nu apare la clasa a 8-a.Sper ca nu va suparati ca va spun acestea, dar munca dvs. cred ca e in zadar.Sper totusi sa ma insel. Dar intr-adevar am observat ca am cam omis cazuri.Alta idee de rezolvare pt clasa a 8-a nu vad.

Practic, nimeni nu mai calculeaz? manual radical din doi... În ziua de azi, lucrurile au mers mult, mult mai departe. Exist? mormane de calcule care pot fi f?cute automat, deci (trecând peset partea didactic?) nu are rost s? ne pierdem vremea cu ele.

Problema de fa?? este peste nivelul obi?snuit din clas?, deci merit? s? ne concentr?m pe ideea de rezolvare, care este... examinarea claselor de resturi.

Ce a ar?tat gauss mai sus? pur ?i simplu a ar?tat c? în mod necesar cel pu?in dou? dintre cele trei necunoscute se divide cu 11. De ce 11? Pentru c?, în fundal, func?ioneaz? mica teorem? a lui Fermat.

Ca fapt divers, acela?i lucru rezult? ?i dac? ne uit?m la resturile împ?r?irii cu 3.

2) Pentru

avem egalitate. Daca

atunci

si

.Atunci

si

.Prin urmare insumand cuburile avem

Atat!