Sa se demonstreze ca nu exista functii strict monotone f: R->R astfel incat

oricare ar fi x apartinand lui R iar a si b sunt doua numere reale date.

[Citat] Sa se demonstreze ca nu exista functii strict monotone f: R->R astfel incat oricare ar fi x apartinand lui R iar a si b sunt doua numere reale date.

Daca a si b sunt "doua numere date" inseamna ca sunt diferite.
Inlocuim in relatia data pe x cu a, apoi il inlocuim cu b, si dupa aceea scadem relatiile obtinute. Obtinem f(a)=f(b), deci f nu este injectiva. Dar orice functie strict monotona este injectiva...

a si b sunt "doua numere date" insa nu se exclude varianta ca ele sa fie egale. Din acest motiv se iau doua cazuri a diferit de b (cel in care se foloseste injectia) si a=b(cazul pe care nu stiu sa-l rezolv)

[Citat] a si b sunt "doua numere date" insa nu se exclude varianta ca ele sa fie egale. Din acest motiv se iau doua cazuri a diferit de b (cel in care se foloseste injectia) si a=b(cazul pe care nu stiu sa-l rezolv)

In cazul a=b:
- scrii relatia data inlocuind pe b cu a si obtii f(2a-x)=f(a-x)+f(x-a) (1)
- inlocuiesti in (1) pe x cu a-x;(obtii f(a+x)=f(x)+f(-x) (2))
- inlocuiesti in (1) pe x cu a+x;(obtii f(a-x)= f(-x)+f(x) (3))
- din (2) si (3) obtii: f(a+x)=f(a-x), pentru orice x.