Se considera triunghiul PAB in plan.Sa se determine locul geometric al punctelor M din plan pentru care:

.
Am notat S()aria triunghiului.

Fixam o data pentr totdeauna trei puncte A,B, pe de o parte, si P pe de alta.

(A considera fara legatura -inca- cu ce se cere, un loc geometric, a considera deci triunghiul PAB nu este decat un mod rapid de *enunta* problema, dar reordonand ingredientele, vedem ca A si B sunt de considerat impreuna si au un "rol simetric", iar P este "o alta chestie". Din considerentele de pana acum, ne asteptam ca solutia sa prezinte un "fel de simetrie" la schimbarea lui A cu B, si un fel de "alta simetrie" fata de P. A nu se citi mai departe. Gasiti cateva puncte din locul geometric... verificati "simetricele" sau "simetriile"...)

Lasam un punct M sa se plimbe in plan.
Cele doua triunghiuri MPA si MPB au o baza comuna, MP.
Ariile lor
(neorientate, fara semn, asa ca la clasa a VIII)
sunt egale, daca si numai daca lungimea inaltimii din A si a celei din B sunt egale. Cu alte cuvinte cautam "dreptele MP", notate "d" mai bine, pentru care distanta de la A la d coincide cu cea de la B la d.
(M va fi un punct arbitrar pe ele si numai pe ele.)

Sunt doua astfel de drepte.
(Asta daca presupunem o situatie nedegenerata. In conditii de olimpiada trebuie scrise cateva propozitii despre cazul in care
P coincide cu A, dar nu si cu B,
P coincide cu B, dar nu si cu A,
A coincide cu B -si eventual sau nu si cu P...
Mai departe consider doar cazul nedegenerat.)


Cele doua drepte de mai sus trec prin P. (No, ce mare surpriza...)
Una trece prin P si prin mijlocul lui AB. O notam cu (m) (de la mediana).
Cealalta trece prin P si este paralela cu AB. O notam cu (p) (de la paralela).

Locul geometric cautat este reuniunea dreptelor (m) si (p).

Sun doua lucruri de demonstrat:

Daca M este un punct de pe (m) sau de pe (p), este "clar" ca cele doua distante.. sunt egale. (Trebuie insa demonstrat...)

Daca M NU este nici pe (m) nici pe (p) trebuie sa gasim un argument rapid ca sa stabilim inegalitatea... Pe cazuri...
Sa zicem deci ca M nu este pe (m) sau (p)
Dreptele PA si PB si dreptele (m) si (p) impart planul in o droaie de regiuni.
Luam un punct M in plan. Atunci el se afla intr-una din aceste regiuni.
Deoarece nu conteaza decat dreapta PM, ne reducem fara a restrange generalitatea la jumate din ele. Anume putem lua M in semiplanul fata de (p) ce contine A,B.
Deoarece rolul lui A si respectiv al lui B pot fi schimbate intre ele mai injumatatim cazurile. Anume putem lua M in semiplanul fata de (m) ce contine
A.

(Exceptand cazurile degenerate, in care P coincide fie cu A fie cu B)
avem urmatoarele doua cazuri de studiat:
- M este in "sfertul" de plan determinat de (p) si semidreapta [PA), dar care nu are nimic de-a face cu (m) i.e. nu contine din (m) decat P. Atunci ducand paralela prin A la MP putem compara inaltimile...
- M este in "sfertul" de plan determinat de (m) si semidreapta [PA), ce nu are nimic de-a face cu (p). Atunci comparatia lungimilor celor doua inaltimi cu distanta de la A (sau B) la (m) arata ca sunt diferite.


Sper ca modul meu de povestit nu a provocat cascatul contagios aferent, doar asa "se iau toate punctele"... (A posteriori exista intotdeauna posibilitati de scurtare a expunerii, dar mare atentie trebuie facuta la capitolul logica... Prefer sa separ totul in expunere.)