Se da sirul

si definit ca

.
Se cere sa se calculeze

Prin inductie am aratat ca

dar nu stiu sa calculez limita.

Rezultatul ar trebuie sa fie

Tragand un logaritm (functie continua...) pe limita de la sfarsit si substituind

se pare ca problema se reduce la a detecta "asimptotica expresiei"

Daca stim deja dezvoltarea in serie Taylor a functiei din numarator in jurul lui zero, am terminat deja, (de fapt avem echivalent de investit munca de a gasi aceasta dezvoltare in serie), anume:

(Semnul plus/minus este ales depinzand de paritatea lui k.)
Relatia de mai sus reprezinta prin definitie proprietatea urmatoare:

[Daca din ln(1+x) scadem polinomul de pe partea dreapta obtinem un element cu asimptotica "O-mare de x la puterea (k+2)" pentru x localizat spre zero.]

Cu alte cuvinte, prin definitie
[Daca din ln(1+x) scadem polinomul de pe partea dreapta, diferenta impartind-o cu (x la puterea (k+2)) atunci obtinem o expresie care este marginita intr-o vecinatate a lui zero (de o constanta convenabila ce depinde de aceasta vecinatate).

In particular:
[Daca din ln(1+x) scadem polinomul de pe partea dreapta, diferenta impartind-o cu (x la puterea (k+1)) atunci obtinem o expresie ce tinde la 0 pentru x ce tinde la 0.

Cum se demonstreaza aceasta asimptota?
Se foloseste dezvoltarea asimptotica (seria geometrica / valoarea sumei partiale pentru progresia geometrica de ratie multiplicativa (-x)

si se integreaza (de la 0 la x)...

Nota: Computerele folosesc deja astfel de dezvoltari standard, de exemplu:
(cod maxima pentru dezvoltarea in serie Taylor a functiei ln(1+x), vazuta ca functie de x, -nu de y, ca n-are de unde sa stie altfel computerul- dezvoltare facuta in jurul lui 0, pana la ordinul 10 inclusiv.)