Fie ABCD un tetraedru a.i.

;

.Demonstrati ca:
a)

b)inaltimile taetraedrului sunt concurente;
c)

Nu stiu de ce corectez prima conditie cu

,dar enuntul problemei initiale ramane neschimbat.

Problema se rezolva usor folosind produsul scalar a doi vectori.Asfel,notand vectorii AB=a ,BC=b,CD=c ,ultima relatie de demonstrat devine:

relatie echivalenta cu

,adica cu

.
(Probabil nu e solutia care trebuie,dar e singura care mi-a venit in minte.)

[Citat] Nu stiu de ce corectez prima conditie cu ,dar enuntul problemei initiale ramane neschimbat.

Nu ne este clar ce anume doriti sa corectati. Textul pare corect.

[Citat] [Citat] Nu stiu de ce corectez prima conditie cu ,dar enuntul problemei initiale ramane neschimbat. Nu ne este clar ce anume doriti sa corectati. Textul pare corect.

Acum da,dar prima data am scris

su nu reuseam sa corectez

a) In planul bazei (BCD) duc paralela prin D la BC , prin C la BD si prin B la DC. Paralela prin D se intersecteaza cu paralela prin C in B', paralela prin C cu paralela prin B in D' si paralela prin B cu paralela prin D in C'.
Se formeaza in planul bazei mai multe paralelograme de unde obtinem egalitatile: DC'=DB'=BC,C'B=BD'=DC,DB=D'C=CB'.
Observam ca se formeaza triunghiul ABC' dreptunghic in B deci

.
Deci triunghiul AC'B' isoscel si AD mediana(DC'=DB') rezulta ca AD este si inaltime . q.e.d.

c) Folosindu-ne de egalitatile de segmente obtinute la a) avem:

a) Pt a) mai avem si rezolvarea: Fie

Analog

Deci BA_1 si CA_1 sunt inaltimi in tr.BCD rezulta

b)Se demonstreaza ca sunt concurente doua cate doua.
Demonstram ca

sunt concurente.