Buna ziua! Am urmatoarele probleme:

1. Demonstrati ca grupul multiplicativ al elementelor inversabile din inelul

este ciclic, oricare ar fi p diferit de 2, numar prim si n natural.
2. Demonstrati ca inelul

este finit <=> x e nenul in

. (prin (x) inteleg idealul principal generat de elementul x)
3. Fie n un numar natural in a carui descompunere in factori primi apar exact r numere prime distincte. Demonstrati ca numarul idempotentilor din

este

. (elementul x este idempotent daca

). Altfel reformulata problema, demonstrati ca exista o bijectie intre Idemp(Z_n) si P(A), unde A este o multime cu r elemente, iar P(A) inseamna multimea partilor sale.

La prima problema eu am incercat sa iau un exemplu, adica p=3 si n=2 si am obtinut

, iar U(Z_9) este format din elementele prime cu 9, adica {2,4,5,7,8}, vorbind despre clase de resturi mod 9. Iar acest grup nu-mi pare a fi ciclic. Doar o parere.

Multumesc,
Adi

(2) Daca x este nul, idealul (x) este idealul nul, tragand un cat fata de idealul nul pentru un inel nefinit...

Ne ocupam de cazul in care x este nenul. Atunci x este de forma

. Vrem sa aratam ca un cat este finit.
Ajunge sa aratam ca este finit catul inelului... fata de multiplul

al lui x, care este un numar intreg. (Ne exprimam numai mai simplu...)
Este acum insa usor sa vedem care sunt elementele lui

:
Ele sunt -sau se pot identifica cu- (in cazul in care d nu este patrat perfect) elementele de forma

.

(1) Faptul ca inelul unitatilor corpului ZZ/p, p numar prim, est ciclic este un lucru bine cunoscut. Se demonstreaza "usor"...
Daca avem un generator acum pentru ZZ/p putem inductiv sa facem rost de cate unul prin inductie dupa n pentru ZZ/p^n.

Mai sus nu e nici un fel de contraexemplu. Grupul unitatilor in ZZ/9, in notatie

, are desigur 6 elemente, primul pe care il scriem fiind unu.

Pentru astfel de scopuri recomand in general folosirea computerului.
(Stiu ca sunt cam singur in componenta mea conexa, dar ganditi-va ca mai tarziu in viatza trebuie sa si castigati banii cu ceva...)

folosesc sage (a se vedea sagemath.org):

sage: ?IntegerModRing
sage: R = IntegerModRing(9)
sage: R
Ring of integers modulo 9
sage: R.unit_gens()
[2]
sage: a = R.unit_gens()[0]
sage: a
2
sage: for i in range(7): print "%s^%d = %s" % ( a, i, a^i );
....:
2^0 = 1
2^1 = 2
2^2 = 4
2^3 = 8
2^4 = 7
2^5 = 5
2^6 = 1

Observatie: Problema este o problema "cunoscuta" si in acelasi timp "importanta". Prin procedeul de extindere inductiva de la un ZZ/p^n la ZZ/p^(n+1) se obtine un "lant compatibil" de generatori.

Trecand la "limita proiectiva" in lantul de aplicatii de inele:

care este inelul numerelor p-adice, care in toata lumea se noteaza cu

, numai in Romania inca cu

(cred),
in fine,
astfel se obtine un "generator topologic" (fata de topologia generata de subgrupurile de index finit) pentru grupul unitatilor din inelul p-adic.
(Generator Teichm"uller...)
Procesul de ridicare de la o radacina din corpul ZZ/p (a unui polinom oarecare) la ceva din inelul p-adic (in conditii moderate) este din nou un lucru cunoscut, se foloseste ceea ce se numeste "Lema lui Hensel".

A se cauta pe net. Nu este aici cadrul de dezvoltare a teoriei (cred ca Kedlaya are note excelente pe net), dar aici este in orice caz cadrul pentru intrebari punctate legate de subiect. (Sper ca directia cautarii este clara, demonstratia prin inductie este insa la indemana oricui.)

(3) Fie p1, p2, ... numerele prime diferite care (chiar) se afla in descompunerea lui n.
Exista atunci puteri naturale >0, k1, k2, ... astfal incat:

Teorema (in forma structurala) la teoremei chineze a resturilor (Chinese Reminder Theorem, CRT), afirma ca avem un izomorfism de inele:

(Daca va supara suma directa luati produs cartezian...)

Aplicatia in directia sagetii este cea naturala, o proiectie, dat un numar modulo n il trecem la un numar modulo un divizor al lui n.
CRT afirma ca aplicatia definita "asambland" aceste proiectii este bijectiva.

Deoarece propritatea de a fi idempotent este algebrica, (foloseste doar multiplicarea), rezulta ca un x idempotent din ZZ modulo n se duce intr-o adunatura de idempotenti in cdonstituentii...
Reciproc (deoarece si inversa este morfism de inele), dati o droaie de idempotenti in constituenti, aplicatia din CRT da un idempotent corespunzator in ZZ modulo n.
Am demonstrat deci fara a ne umple de noroi:

(Aici "suma directa" se refera la operatia de a lua produsul cartezian pentru monoizii fata de inmultire ai idempotentilor din... *impreuna* cu structura algebrica, inmultirea respectiva.)
Se arata acum usor ca idempotentii din ZZ / pp...p sunt doar zero si unu (modulo puterea respectiva a lui p).
Deci partea cu idempotentii din constituentii de mai sus este (ca multime):

unde desigur 0,1 din constituenti cartezieni diferiti sunt "numere" luate modulo puteri (diferite) de numere prime diferite.
Acum problema vrea de la noi sa punem in bijectie (uitand complet de structura algebrica) multimea de mai sus cu multimea partilor unei multimi cu p elemente...

Multumesc foarte mult, intr-adevar am primit un raspuns mult mai detaliat decat mi-as fi putut dori, dar care si invita la cercetari conexe.

Din nou multumesc si o zi buna!

Adi