Printr-un punct P situat pe latura [BC] a triunghiului ABC se considera paralele la laturile congruente care intersecteaza [AM] in M si [AC] in N.Sa se arate ca:

Mie imi pare evident gresita relatia asta,(e suficient sa scriu relatia sub forma de raport si rezulta imediat un membru subunitar ,iar celalalt supraunitar),dar poate doar imi pare....

[Citat] Printr-un punct P situat pe latura [BC] a triunghiului ABC se considera paralele la laturile congruente care intersecteaza [AM] in M si [AC] in N.Sa se arate ca: Mie imi pare evident gresita relatia asta,(e suficient sa scriu relatia sub forma de raport si rezulta imediat un membru subunitar ,iar celalalt supraunitar),dar poate doar imi pare....

Trebuie sa revezi enuntul. Sigur este ceva gresit in el. Ceva cam mult...

Pai asa arata,...defapt la primul subpunct se cere locul geometric la mijlocului segmentului MN si apoi,la subpunctul b),hop relatia asta,care "din avion" mi s-a parut corecta (cel putin arata ca un produs de arii).Problema s-a dat la un examen de grad,la Cluj cred.

Scuze,graba +oboseala.Reiau enuntul:
Printr-un punct P situat pe baza [BC] a triunghiului isoscel ABC se considera paralele la laturile congruente care intersecteaza [AB] in M si [AC] in N.Sa se arate ca:

Este

, desi nu vad de ce triunghiul trebuie sa fie isoscel.

[Citat] desi nu vad de ce triunghiul trebuie sa fie isoscel.

Asa...(cum ar raspunde Morormete)

Deoarece nu prea am multe litere iau pentru inceput "alt" triunghi ABC.
Fie B' pe AB si C' pe AC, astfel incat sa avem (pentru lungimi):

AB' / AB = p
AC' / AC = q

Atunci rezulta usor
Aria( AB'C' ) / A(ABC ) = pq .

Argument:
(1) Aria( AB'C ) / A(ABC ) = p deoarece inaltimea din C e aceeasi, iar bazele...
Cu exact acelasi argument rezulta
Aria( AB'C' ) / A(AB'C ) = q
si inmultim.
alternativ
(2) Aria lui ABC este juma' din produsul lungimilor laturilor ce se impreuneaza in A si a sinusului unghiului din A. Corespunzator pentru AB'C'. Stim insa raportul laturilor ce se corespund.

Fie acum ABC un triunghi oarecare si p,q doua numere cu p+q=1.
Fie P pe dreapta BC,
astfel incat BP fura p bucati din BC, si deci
astfel incat PC fura q bucati din BC.

Ducem paralele...
BM fura atunci tot p bucati din BA (ca si BP din BC), Neanderthales, etc.

Rezulta usor atunci:

Aria( BPM ) = pp Aria( ABC )
Aria( CPN ) = qq Aria( ABC )
Aria( AMN ) = pq Aria( ABC )

Egalitatea de demonstrat revine la:
(pq)(pq) = (pp)(qq) .

Relatia de demonstrat este:

Notez

si avem:

care, dupa cum se poate observa usor, verifica relatia data.

Multumesc de ajutor,pe mine nu rezovarea in sine ma necajea,cum ma revolta faptul ca e scris gresit enuntul si (eu )nu sunt in stare sa gasesc gresala...