Am incercat sa rezolv urm probleme si nu am reusit:

1. Dintre toate paralelipipedele dreptunghice cu aceeasi diagonală, aflati pe acela care are suma tuturor ariilor fetelor maximă.

2. Fie a,b,c,d numere reale in intervalul deschis (0, infinit) . Arătati că :
1) Dacă a+b>= (a/c) +bd , atunci a+b<= ac +(b/d)
2) Reciproca este adevărată?

(1) Fie x,y,z lungimile laturilor cutiei.
Atunci problema se reformuleaza:

Daca xx + yy + zz este o constanta data DD, sa se maximizeze:
2(xy+yz+zx)
Aceasta este o problema standard, de fapt avem

(cu egalitate daca si numai daca x=y=z).
Maximul este dublul ariei patratului cu latura diagonala data .

(2) Daca ne jucam putin cu logica, avem de aratat ca pentru a,b,c,d>0:
(2a)

nu se poate, dar
(2b)

se poate.

(2a) Adunand cele doua inegalitati si folosind faptul ca (c+1/c) si (d+1/d) sunt mai mari sau egale cu (de doua ori radical din produsul... inegalitatea mediilor)

2

obtinem o contradictie.

(2b) Luam a=b=1. Si atunci chiar ne vine sa luam c=d=2009... Se poate!

La 1 putem gandi asa:

Avem

si

trebuie calculat maximul lui S.

Am folosit inegalitatea mediilor

Maximul este

Avem egalitate daca

adica paralelipipedul este cub.

La 2 demonstram prin reducere la absurd : pp ca

,avem prin adunarea celor doua relatii

imposibil.
Am folosit inegalitatea

pentru orice x pozitiv.
Deci pp facuta este falsa.Prin urmare

reciproca nu este adevarata ex:

avem

dar

nu este adevarata