Fie trapezul dreptunghic ABMN m(A)=m(B)=90 grade;Latura MN a trapezului este variabila si are propietatea ca este egala cu suma bazelor.Daca O este mijlocul laturii AB,M' este simetricul lui M fata de O;N' este simetricul lui N fata de O atunci:
a)Stabiliti natura patrulaterului MN'M'N(am dem.ca e romb)
b)Aratati ca MN este tangenta la cercul de diametru AB.

Aici e cam greu de desenat.
Dar geometria este stiinta care ne face figuri gresite cand rationam corect...

(1) Patrulaterul MN'M'N este trapez isoscel...
(2) Fie T punctul de pe MN cu proprietatea ca AN=NT si TM=MB (lungimi egale).
(Paranoia cu congruentzele o uitam aici.)

Atunci cam toate calculele de masuri de unghiuri depind de doua unghiuri

unghiul din A din triunghiul isoscel ANT,

unghiul din B din triunghiul isoscel BMT,
si putem imediat vedea care sunt unghiurile din A si B din triunghiul ATB, deci putem calcula unghiul din T din el. Aici duc calculele intr-un mod artificial, dar multe alte drumuri conduc la acelasi rezultat. Acesta este:

Deci triughiul ATB este triunghi dreptunghic cu unghiul drept in T.
Deci cercul de diametru AB trece prin T,
OA,OB,OT sunt raze in el,
usor se arata ca triunghiurile sunt egale (congruente pentru paranoia formala...)

OAN = OTN

OBM = OTM
deci OT este perpendiculara pe NT (si TM),
deci cercul de diametru AB este tangent la dreapta MN (in T).

Patrulaterul MN'M'M la prima mana este paralelogram deoarece diagonalele se taie in parti egale.
Apoi mai sus s-a demonstrat ca triunghiul ATB e dreptunghic.
Si cum in acest triunghi TO este mediana avem

.
Deci triunghiurile AON si TON sunt congruente(1),adica ON e bisectoarea lui AOT. Analog OM e bisectoarea lui BOT. Inseamna ca MON este unghi drept! Deci MN'M"m este patralelogram cu diagonalele congruente,adica este ROMB !
Apoi cercul de diametru AB trece prin T si cum unghiul OTN e drept din (1) rezulta ca NT este tangenta la cerc.

Uliuuuu... (Am citit gresit, cumva am luat simtericele fatza de AB...)
Bun, astfel punctul (1) este o reala indicatie pentru (2) si solutia se povesteste usor:

(1)
Deoare luarea simetriei fatza de O este o izometrie (pastreaza paralelitatea, masura laturilor si a unghiurilor, etc) MN se duce in M'N' un segment paralel de aceeasi lungime, deci patrulaterul este mai intai un paralelogram.

Deoarece AN+BM=MN, rezulta imediat
M'N = M'A + AN = BM + AN = MN ,
deci paralelogramul este romb.

(2)
Fie Q centrul paralelogramului. Atunci Q = O , ambele puncte fiind pe diagonale.
Fir R distantza de la O la latura MN.
Atunci prin simetrie fatza de diagonalele perpendiculare drept axe, cercul de raza R este tangent la toate patru laturile.
Fie A', B', T, T' cele 4 puncte de tangentza de pe laturile...
Rezulta A=A', B=B', AB diametru.

Deci cercul de diametru AB este tangent la MN.

(Daca se cerea asta, poate ca incercam invers... Subiectul m-a indus in eroare, asta mi se intampla numai la tezele de romana...)