Multumesc mult pentru ajutor.MAi intimpin probleme la demonstrarea urmatoarelor puncte:
Fie H(t) o functie continua.unde H:[a,b]din multimea R.Consideram ca avem un operator A:C[a,b]in C[a,b],(Ax)(t)=H(t)x(t).
1. A este inversabil este echivalent ca H(t) este diferit de 0.pentru orice t ce apartine[a,b]
Fie ca H(t) diferit de 0,pentru orice t ce apartine[a,b]= 1/H(t)- continua pe [a,b].
(Bx)(t)=1/H(t)* x(t);
2.Spectru (A)={H(t)} pentru orice t ce apartine [a,b];
3. A-complet continuu de unde rezulta ca H(t)=0,pentru orice t ce apartine [a,b];

(1) Daca A este inversabil (ca operator marginit in algebra operatorilor marginiti, atunci este si bijectiv, asadar) sa notam cu H' preimaginea functiei continue 1 prin A. Dam tot de o functie continua, H'.
Prin definitie duce A functia H' in functia 1, deci
H.H' = 1 ,
deci H nu are zerouri.

Reciproc: Presupunem ca H nu se anuleaza pe domeniul de definitie.
Acesta este intervalul compact [a,b]. Functia continua | H |, modul de H,
aici voi scrie atunci norma cu decorarii duble,
duce acest interval compact tot in ceva
(interval, deoarece si conexitatea este conservata,)
compact, care nu contine 0, deci nu contine o vecinatate a lui 0, deci exista un epsilon > 0 cu

|H| >= epsilon .

(Am aratat "marginirea in jos" a lui A... Expicit De aici rezulta ca 1/H are sens si defineste o functie marginita de norma
|| H || <= 1/epsilon < oo .

Operatorul de inmultire cu 1/H este atunci marginit, si se arata usor ca este inversul lui A.

(2) Avem de aratat doua incluziuni:

- orice element din imaginea lui H, deci orice element de forma H(t0), t0 fixat,
este in spectrul lui A,
deoarece A - H(t0).I nu este inversabil (I fiind operatorul identitate),
deoarece A - H(t0).I este operatorul de inmultire cu H(.)-H(t0) care ia valoarea zero in t0 si folosim cele aratate la (1).

- orice element u care nu este in imaginea lui H, o multime compacta K, are o distantza (strict) mai mare ca zero fatza de acest compact, deci
| u - H | este "marginit in jos", i.e. exista un epsilon > 0 convenabil care este margine inferioara (minorant) pentru valorile acestei functii.
Deci operatorul uI-A, tot operator de tipul operator de inmultire cu o functie (anume u-H) este inversabil (ca operator continuu in algebra lor).
Deci u nu este in spectrul lui A.

(3) Daca-mi amintesc bine, continuitatea completa se exprima asa:

Fie (f_n) un sir arbitrar ce converge slab la f.
(Atunci, desigur ca prin functorialitate, compunere cu A, si ( A f_n ) converge slab la A f. Continuitatea completa este o proprietate ce cere chiar mai mult
Atunci ( A f_n ) converge in norma la A f.

La noi,
spatiul dual lui C[a,b], spatiul functiilor continue pe intervalul compact [a,b] cu valori reale, dotat cu norma supremum,
este spatiul functinalelor de evaluare in cate un punct din [a,b].
Deci convergentza slaba (in sensul spatiilor Banach) este convergentza punctuala a functiilor.
(Iar convergentza in norma spatiului Banach C[a,b] este convergentza uniforma din scoala.)

La problema:
Fie H in C[a,b] care nu este functia identic egala cu zero.
Fie A operatorul f -> Af, operator marginit C[a,b] -> C[a,b], de norma max |H| .
Avem de aratat ca A nu este complet continuu.

Trebuie deci sa facem rost de un sir de functii
(f_n)
pentru care are loc convergentza punctuala la un f,
dar pentru care sirul
( H f_n )
nu converge in norma la Hf.

Un astfel de (contra)exemplu facem rost rapid prin localizare in jurul unui punct in care H nu se anuleaza, daca stim un (contra) exemplu de sir de functii continue ce converg punctual, dar nu converg uniform.

Tema: Care este acest sir si cum facem rost de contraexemplul ce ne rezolva (3)-ul. * Problema s-a redus la o problema de clasa a XI-a * deci cercul de cei tangential afectati s-a largit!