Rezolvati in nr. nat. ecuatiile:

a)

b)

stie cineva sa o faca ? va rog eu ! imi trebuie pentru maine ca dau teza si sa am habar de ea

(a) Desigur ca unul dintre (1/x) , (1/y ) (aflati intre 0,1) va lua la afacerea cu suma mai mult de jumatate din ceea ce obtinem, (1/2009). Fara a restrange generalitatea (si de a uita la sfarsit sa consideram drept solutii si perechile cu "componentele schimbate"...) putem presupune ca (1/y) este de vina.
Rezulta usor:

Cand este x natural dat de formula de mai sus? (I ntrebare pentru cei ce stiu sa programeze, desigur. Problema a fost redusa la o problema finita!)

Fara calculator...
Bine deci, x este un numar intreg, asadar fractia de mai sus are numaratorul si numitorul numere naturale (>0). Fractia "se simplifica deci total" cu (y-2009).
Deci
(A) fie avem y-2009 =1 (y=2010), iar x este atunci... Ramane...
(B) fie y-2009 >1 si fiecare numar prim p ce apare in descompunerea lui (y-2009) divide numaratorul. Daca p divide 2009 stim sa mergem mai departe. Daca p divide y, cum l-am luat sa divida (y-2009) rezulta ca divide si diferentza y-(y-2009) = 2009. Deci y divide 2009.
Facorizarea lui 2009 este:
sage: factor(2009)
7^2 * 41

Concluzie utila dupa acest studiu de divizibilitate:
y-2009 este un numar intre 1 si 2009, care are drept divizori puteri maximale de numere prime doar (eventual) pe 7, 7^2, 7^3 (si atat, deoarece 7^4 scapa peste 2009) si (eventual) pe 41, 41^2 (si cam atat, pentru ca... scapa peste...) Raman atunci cam putine numere ce pot apare pe post de y-2009, acestea fiind:
1, 7, 7.7, 7.7.7,
41, 41.7, 41.7.7, (iar 41.7.7.7 pica fiind prea mare),
41.41 (iar... pica...)

Mai trebuie sa verificam (da)ca luand y corespunzator chiar obtinem dupa simplificari maxime un numitor egal cu unu... (In definitiv, de ce sa se duca acel 7.7.7?) Poate ca cel mai simplu redactez solutiile folosind un program...

Ba, fain mai e la teze in zilele astea!
In primul rand se stie ce se da. In al doilea rand se da ceva pentru doi elevi din orasul cel mai apropiat. In al treilea rand se satisfac si necesitatile profesorilor de a avea cat mai putin de corectat si de a-si vedea problemele ramase nehacuite hacuite... In al ultimulea rand, ce se da nu are nimic de-a face cu vreo programa de matematica de la scoli din tari de pe una din planetele apropiate.

(b) Desigur ca unul dintre (1/x^2), (1/y^2) va solicita la afacerea cu suma asta mai mult din jumatate... Deci unul dintre x^2 si y^2 se afla intre 4+1 si 2*4. Ce de patrate perfecte avem de considerat...