Am matricea de ordin m

1-a a/m-1 a/m-1.......a/m-1
a/m-1 1-a a/m-1 .......a/m-1
..........................
a/m-1 a/m-1 a/m-1.......1-a

cat este aceasta matrice la puterea n?

Ms.

acolo este

prima varianta
Ms

Observam ca

Cea de-a doua matrice o vom nota cu B.

Deci

Se observa ca

=

Nu stiu ce se intampla dar am modificat exercitiul(pt ca gresisem calculul lui B la n) si nu mi se actualizeaza pagina.Revin cu rezolvarea.

[admin edit] Intotdeauna cand apare o eroare exista o greseala undeva. In acest caz spre sfarsit ati tastat \frac{1]{(m-1}^n}, deci a aparut o acolada inchisa in plus...

Si mie mi se intampla des sa tiparesc cu greseli, modific de cateva ori, iar una din modificari nu mai devine activa, desi cele tiparite au fost corectate...
"Solutia" mea este de a copia ultima versiune, a incepe un nou raspuns, a plasa cele copiate in noul raspuns, a trimite si a sterge fostul raspuns... Mie mi-a functionat in cazuri in care ajunsesem deja la exasperare...

Ideea este ca mai sus: Matricea data se scrie sub forma (uE+wC),
unde u,w sunt scalari reali, alesi convenabil
E este matricea identitate,
C matricea cu toate intrarile egale cu 1/m.
(E si C sunt matrici patrate de aceeasi dimensiune mxm.)

Atunci E si C comuta intre ele, deci putem aplica formula binomiala,
iar CC=C, deci putem trage toate puterile mai mari ale lui C la ceva simplu.
(C=CC=CCC=CCCC=CCCCC=...)

L sfarsit se mai poate aduna si scadea u^nC,
pentru a grupa u^n (E-C) si (u+w)^n C in raspunsul final...

P.S.
La astfel de probleme nu se stie ce este mai indicat de cerut de la cel ce a propus-o initial (la clasa/examen):
sa dea
(A) o solutie cu
(B) din
cap si coada.

Principiul este clar, de ce trebuie ascunsa asa des o matricea unipotenta (aici C) in problemele de calculat puteri de matrici? In fine, candva le vom fi tiparit pe toate...

Observam ca

Cea de-a doua matrice o vom nota cu B.

Deci

Se observa ca

(eroare: eq.4/24299)$B^n=\frac{1}{(m-1)^n}[\C_n^0 \cdot C^n(-m)^0+\C_n^1\cdot C^{n-1}(-m)^1+...+\C_n^nC^0(-m)^n]=\frac{1}{)m-1(^n}[C(\C_n^0m^{n-1}+\C_n^1m^{n-2}(-m)+...+\C_n^{n-1}(-m)^{n-1})+(-m)^nI_m]=\frac{1}{(m-1}^n}[C \cdot m^{n-1} \cdot 0+(-m)^n]=(\frac{-m}{m-1})^nI_m$

(eroare: eq.5/24299)$A^n=(I_m+aB)^n$=(eroare: eq.6/24299)$\C_n^0 \cdot a^0 \cdot B^0+\C_n^1 \cdot aB+\C_n^2 \cdot a^2 \cdot B^2+...+\C_n^n \cdot a^n \cdot B^n$
Se pare ca de data asta nu-mi iese limbajul Latex...vorba dvs domnule profesor , te aduce la exasperare. Cred ca voi lasa asa problema cu speranta ca cel ce a propus-o va intelege.

Multumesc pentru indicatii. Am ajuns la rezultatul final.