Ajutati-ma va rog!!!
Fie H(t) o functie continua.unde H:[a,b]din multimea R.Consideram ca avem un operator A:C[a,b]in C[a,b]
(Ax)(t)=H(t)x(t)
1. Sa aratam ca operatorul A este liniar.
2.sa aratam ca operatorul A este marginit
3.Sa demonstram ca !!A!! =max !H(t)!.

(1) Faptul ca operatorul A definit pe spatiul Banach (real) X al
[functiilor continue pe intervalul inchis (nevid) I=[a,b] cu valori reale]
cu valori in acelasi X,
este liniar este o chestie de algebra liniara, nu avem decat nevoie de structura lui de spatiu vectorial. Fie arbitrari f,g in X precum si doi scalari (reali) a,b. Atunci:

Din definitia liniaritatii unei aplicatii de pe un spatiu vectorial cu valori in altul, A este liniar.

(2) Daca trebuie sa aratam ca e marginit, as avea nevoie de o norma...
(Cine pune problema trebuie s-o puna cum trebuie in vecinatatea de la celalat capat al internetului...)
Bun, folosim norma supremum. Zisa si norma infinit sau norma maximum.
(Pe un interval inchis, deci compact, o functie continua cu valori reale isi atinge maximul.)

Deoarece H este in X, H-ul are o norma, |H|.
(Nu insist sa murdaresc notatia aici tragand bare duble, || H ||...)
(Dar voi nota cu bare duble norma pe B(X), pe spatiul operatorilor marginiti din X in X.)
(Exista un c(H) in intervalul I dat cu
|H| := max( |H(c)| : c in I ) = H( c(H) ).
Dar nu avem nevoie de el. Ne face insa viata psihologica mai usoara.)

(X este de fapt algebra Banach. In fine... cam asta ni se cere sa demonstram.)

Fie acum f in X.
(Tot asa exista un c(f) in care se atinge |f| = f( c(f) ).)
(Tot asa, n-o sa avem nevoi de el. Da' traim cu sufletul impacat.)

Ei bine, H.f este tot in X. (Inmultirea de "vectori" f,H este aici data de inmultirea punctuala a functiilor.) Si avem un punct convenabil c(Hf) cu
| Hf | = (Hf)( c(Hf) ) .
Deducem imediat:

(3) Pentru ultimul punct avem nevoie de inegalitatea inversa.
In general: Ori gasim un f astfel incat in supremumul de mai sus se atinge maximul, ori ne apropiem cu un sir bine mesterit de acest supremum.
Din fericire, aici gasim un f usor in care se atinge supremumul.
Cam orice functie continua cu maximul in punctul in care atinge si H maximul este buna. Printre astea este insa parca cel mai simplu si transparent sa se aleaga functia 1 constanta. (Notatie abuziva, dar X este algebra Banach si cei mai multi colegi ma vor scuza de abuz.) Rezulta usor:

N.B.
Numai asa, delir propriu...

In tzara asta teoria operatorilor are traditie. Profesori buni ne-au invatzat cu linguritza lucruri bune. Este nescuzabil daca generatia actuala se poarta dictatoric la catedra profitand de "micul avans" de cateva zeci de ani de rumegat operatori. Oamenii trebuie sa explice baze, nu sa dea cu dogmele in om. Asa ceva se face in curs sau se tipareste in LaTeX si se pune pe o pagina de facultate de matematica. Cartea de analiza functionala de curs de pe vremea mea a fost ce-i drept o sindrila subtire, dar tot a avut o dezbatere a acestui exemplu fundamental.

Va rog sa nu uratzi sub nici o forma materia asta!
Iar disperarea sa dispara. (Am io grija, cat timp ma mai tin deshtele la batac.)