fie f:[-2,a]->[-3,b] prin f(x)=2x+b o functie bijectiva si S=f^-1(4). atunci S este ?

Sa se afle volumul maxim al conurilor inscrise in sfera de raza R.

Poate ca cineva isi va lua timp sa defineasca literele in problemele ce cad aici din cer in ordinea in care apar, astfel incat problema sa aibe sens.
Altfel nu facem matematica, ci ghicitori.
Matematica are ceva de-a face cu structurile, ghicitorile cu jocul la bingo.

Deci:

CADRU: (A se completa locurile ... )
Fie a,b doua numere reale mai mari decat ... astfel incat intervalele ... nu sunt triviale. Se *stie* ca functia f data de formula ... duce *bijectiv* intervalul ... in intervalul ...
(1) Din cele date sa se determine a,b.
(2) Sa se arate ca 4 este in domeniul de valori al lui f.
(3) Sa se calculeze preimaginea lui 4 prin f.

N.B. Astfel de probleme se propun pentru a enerva pe cei ce trebuie sa le explice. Cei ce le propun nu vor rezista tiradei mele mai mult de cateva secunde.

Incerc sa rezolv cat pot. Va rog sa nu incepeti cu punctul (3).
Intotdeauna incepeti cu stabilirea cadrului.
In totdeauna mentionati pentru asta de unde vine problema, ca sa stim si noi daca nu cumva cineva face poante de forma "In Copsha pe dreapta, cine da cotul ramane fara el. Sa se generalizeze." (Cine generalizeaza pentru toate orasele unde nu se poate respira, nu a dat solutia buna. "Generalizarea" este desigur pentru stanga.)

(1)
Deoarece legea liniara implementata de formula lui f determina evident o functie strict grescatoare, din injectivitatea lui f, minimul intervalului de plecare trebuie sa fie trimis prin f in minimul domeniului de valori.
Deci f(-2) = -3.
De aici se calculeaza usor b... Va rog sa nu calculati si valoarea lui a, treceti va rog direct la
(2)
......................................................................

problema nu e generalizata ce nu am scris e grila: a) s=0 b)s=-1 c)s=-2 d)s=1 e)s=2 (in rest nu se precizeaza nimic. problema e luata dintr-o culegere de admitere)
raspunsul din culegere este d. nu inteleg de ce.. pentru ca din calcule b=1 => 4 nu partine [-3, 1] deci nu avem solutie in cazul asta sau gresesc eu undeva?

Imi cer scuze, am facut propozitii confuze.
Chestia cu "generalizarea" a fost un banc folcroric prost (plasat) de forma:

Propozitie: Toate masinile ce parcheaza astazi pe dreapta pe strada <Trei stejari> din orasul Braila sunt paradite. Sa se generalizeze integral.

Elevul Bula: Generalizare: Toate masinile ce parcheaza intr-una din epocile trecuta, prezenta (sau de aur) si imediat viitoare pe una din partile strazii -stanga sau dreapta -, pe una din partile masinii - deci pe roti, partea stanga, dreapta, de sus, din fata sau din spate a masinii, pe orice strada, parcare, teren viran sau sub pod in orice oras, sat, catun sau simpla adunare de viloaie, case, colibe sau stane din Romania sunt paradite si nefunctionabile si stricate si poluante... Zero puncte. Picaj.

Solutia autorului: Generalizare integrala: Toate masinile ce parcheaza pe stanga pe strada <Trei stejari> din orasul Braila sunt paradite. (Argumentarea autorului: Se folosesc cele doua metode cunoscute pentru calculul generalelor: Integrare prin parti realizata prin substitutia partilor una cu alta.)


Acum la problema propriu zisa:
Da, dupa ce se face rost de b=1, imediat apare o problema de consistentza in ceea ce e scris mai departe: 4 nu este in imaginea functiei f, deci nu va fi nici in domeniul de definitie al functiei inverse (prezumtive).
Astfel de probleme (Cum este si "Se se calculeze suma radacinilor reale ale ecuatiei x^2+x+2=0") apar de obicei din greseli de tipar si intelegere a matematicii de la o culegere la alta.
In culegerea initiala presupun ca era pusa o cursa, poate explicita, avand un subpunct (1 si jumatate) "Sa se rezolve in IR ecuatia 2x+b = 4..." sau poate se cerea preimaginea lui 1/4. Culegerea care s-a inspirat direct sau nu din aceasta problema nu a avut voie sa incalce drepturile de autor...
Uneori, in examene, oamenii trec direct la (3), rezolva ecuatia (si mai primesc si puncte). Doar pentru asta am cerut sa nu se treaca la (3), ci la ratiunea umana.

Am mai ramas dator cu problema cu conurile:

Sa se determine maximul multimii de volumuri de conuri C, unde C se plimba in multimea X(R) a conurilor inscrise intr-o sfera data de raza R.

Deoarece volumul unui astfel de con C se schimba prin operatia de impartire la RRR, daca transformam prin omotetie... Putem lua f.a.r.g. R=1. (Nu e nevoie, dar nu vreau sa car acel R dupa mine.)

Fie C un con in X(1).
Facem o poza in 3D. Taiem aceasta poza cu un plan de trece prin centrul sferei. In acest plan avem o poza in 2D, care reprezinta un triunghi isoscel T cu baza ce corespunde unui diametru al lui C. Fie 2x lungimea acestei baze.
x se plimba
- intre 0 (pentru conul cu baza degenerata la un cerc de raza 0)
- si R=1 (pentru cazul in care conul are drept baza un cerc mare al sferei).

Inaltimea unui astfel de con este

Semnul (plus/minus) se ia dupa cum conul (contine / nu contine) centrul sferei.
Pentru problema de maximizare este clar ca ne legam numai de valorile obtinute alegand semnul PLUS. Problema cere deci calculul lui:

Lasand la o parte decoratiile constante ale expresiei,
facand substitutia

trebuie sa gasim deci

calculam valorile la capatul intervalului in care variaza y, dam de 1 si 0, derivam expresia de maximizat, rezolvam 1-2y-3yy=0 pe (0,1), dam doar de solutia 1/3, calculam in y=(1/3) valoarea lui (1-y)(1+y)(1+y), dam de (2.4.4)(3.3.3) = 32/27. Acesta cam este maximul fara decoratii... Mai este un pas pana la terminat problema.
O mica verificare, mai mult pentru mine:

dan@riemann:/tmp$ sage
----------------------------------------------------------------------
| SAGE Version 3.0.5, Release Date: 2008-07-11 |
| Type notebook() for the GUI, and license() for information. |
----------------------------------------------------------------------

sage: f(x) = x^2 * ( 1 + sqrt(1-x^2) )
sage: f
x |--> x^2*(sqrt(1 - x^2) + 1)

sage: f.find_maximum_on_interval(0,1)
(1.1851851851851851, 0.942809041682)

sage: 32. / 27.
1.18518518518519

sage: sqrt( 1-(1/3.)^2 )
0.942809041582063