E o problema mai complexa de cele care le-am postat inainte:

Fie functia P(x)=[1-(1-x)e^x]/x^2 ; x>0
a)Aratati ca functia are limita in origine,iar prelungirea prin continuitate a sa,P1 este derivabila cu derivata continua pe [0,infinit]
b)Sa se arate ca 0<P1(x)<1 ,pentru orice x din [0,1]

Multumesc.

[Citat] E o problema mai complexa de cele care le-am postat inainte: Fie functia P(x)=[1-(1-x)e^x]/x^2 ; x>0 a)Aratati ca functia are limita in origine,iar prelungirea prin continuitate a sa,P1 este derivabila cu derivata continua pe [0,infinit] b)Sa se arate ca 0<P1(x)<1 ,pentru orice x din [0,1] Multumesc.

La (a) se aplica l'Hopital. Se obtine

Deci functia se prelungeste prin continuitate iar P(0)=1/2. Mai departe, din nou se aplica l'Hopital. Se obtine

Conform consecintei teoremei lui Lagrange functia este derivabila iar derivata este continua in origine.

La (b) se foloseste inegalitatea

. Mai precis, aceasta inegalitate duce la

Deci

. In sfarsit, P(0)=1/2, P(1)=1 (deci inegalitatea din enunt nu este stricta in partea dreapta).