Sa se calculeze A^n, unde A este matricea de forma A= 1-b b
c 1-c

[Citat] Sa se calculeze A^n, unde A este matricea de forma A= 1-b b c 1-c

A=

+

Vom nota cu B a doua matrice.
Conform formulei Cayley avem

Observam ca det(B)=0 si Tr(b)=-b-c.
Deci

.
Deci

Notam ce este in paranteza patrata cu J.
Avem

Deci

unde stim B, J si nu mai trebuie decat sa inlocuim.

Calculul puterii a n-a a unei matrici patratice generale A (cu intrari intr-un corp algebric inchis cum este de exemplul corpul numerelor complexe) se efectueaza "aproape algoritmic". Solutia de mai sus face parte din acelasi cerc de idei.
Pasii sunt in general:

(1) Se calculeaza valorile proprii ale matricii A
(2) Se calculeaza vectorii proprii ai matricii A si se spera ca sunt la fel de multi ca "dimensiunea" lui A.
(3) Se formeaza matricea S din "acesti" vectori proprii drept vectori coloana.
(Se ia un sistem maximal liniar independent format din vectori proprii.)
(4) Deoarece un vector propriu v al matricii a verifica ceva de forma A.v = (lambda).v pentru un numar complex (respectiv din corpul algebric inchis...) lambda, Este bine sa ne uitam la

AS

Aici este important sa-l punem pe S pe aceeasi parte pe care l-am pus si pe v.
(5) Daca sperantza noastra s-a realizat, atunci S este matrice patrata, inversabila. Fie T inversa ei.
(6) Atunci TAS este o matrice DIAGONALA L. Desigur ca stim sa calculam usor L^n.
Din TAS=L deducem A=IAI=ST A ST=S TAS T=SLT.
Deci
AAA...A = SLT SLT SLT ... SLT = S L TS L TS L TS ... L T = SLILILI ... ILT = S (LLL... L)T.

Sa vedem cat de usor se aplica aceasta chestie (modulo calcule, pe care le suprim aici folosind masina de calcul. Calculelel acestea, facute pe hartie, iau desigur mai mult decat cele de la solutia de mai sus).

Folosesc sage, a se cauta sagemath pe google. (Soft LIBER.)

Ramane intotdeauna un calcul de facut. De observat ca puterea a n-a a lui A are intrarile construite liniar in functie de valorile proprii proprii.