Se considera triunghiul ABC cu laturile de lungimi a,b,c cu R raza cercului circumscris si cu r raza cercului inscris. Notam cu O centrul cercului circumscris, cu G centrul de greutate, cu H ortocentrul si cu I centrul cercului inscris in triunghiul ABC.
Sa se arate ca

.

Am o nelamurire la aceasta problema si anume de ce BD=ID.Demonstratia am luat-o din cartea dn-ului Boskoff.M-am chinuit ceva la aceasta egalitate , am impresia ca e ceva simplu si totusi nu ma prind.As aprecia un ajutor.

Fie D punctul in care bisectoarea AI intersecteaza cercul circumscris triunghiului si fie punctele E,F intersectiile lui OI cu cercul.
In triunghiul ABD :

.
Fie I' intersectia cercului inscris cu AB.
In tr.AI'I dreptunghic:

.
Deoarece AI si BI bisectoare rezulta BD=DI.
Folosind puterea lui I fata de cercul circumscris rezulta:

[Citat] Fie D punctul in care bisectoarea AI intersecteaza cercul si fie punctele E,F intersectiile lui OI cu cercul.

Nu ai precizat despre care cerc este vorba, dar ai o demonstratie si aici:
http://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_lui_Euler_(geometrie)
si are ca sursa tot...Boskoff.

[Citat] Am o nelamurire la aceasta problema si anume de ce BD=ID.

Triunghiul BID este isoscel. E suficient sa observam (folosind formulele pentru unghiul inscris in cerc si unghiul interior cercului) ca unghiurile DBI si DIB au amandoua masura B/2+A/2, A si B fiind ungiurile triunghiului initial.

[Citat] [Citat] Fie D punctul in care bisectoarea AI intersecteaza cercul si fie punctele E,F intersectiile lui OI cu cercul. Nu ai precizat despre care cerc este vorba, dar ai o demonstratie si aici: http://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_lui_Euler_(geometrie) si are ca sursa tot...Boskoff.

Am modificat rezolvarea. Era vorba de cercul circumscris triunghiului.