1. Fie

continua astfel incat

. Sa se arate ca exista a, b reale astfel incat

.

2. Sa se arate ca orice

continua care transforma orice interval deschis int-un interval inchis este constanta.

3.Sa se determine toate functiile

astfel incat

orice x,y din Q.

[Citat] 1. Fie continua astfel incat . Sa se arate ca exista a, b reale astfel incat .

Enuntul are o buba: pentru f functia identica 0, integrala din concluzie nu are sens.

[Citat] 1. Fie continua astfel incat . Sa se arate ca exista a, b reale astfel incat . 2. Sa se arate ca orice continua care transforma orice interval deschis int-un interval inchis este constanta. 3.Sa se determine toate functiile astfel incat orice x,y din Q.

La (1.) daca functia se presupune pozitiva, se arata cu ingelitatea Cauchy-Schwartz ca

.

Problema (2.) este dubioasa, iar problema (3.) nu are raspuns rezonabil (functiile pot fi prelungite prin continuitate la dreapta reala, deci problema cere determinarea tuturor functiilor Lipschitziene de exponent 2).

Care este originea acestor enunturi?

[Citat] 3.Sa se determine toate functiile astfel incat orice x,y din Q.

Chiar se poate rezolva asa ceva? Puteti cauta pe Wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Holder_condition

[Citat] 2. Sa se arate ca orice continua care transforma orice interval deschis int-un interval inchis este constanta.

A se vedea http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?search_id=557154194&t=46590

[Citat] [Citat] 2. Sa se arate ca orice continua care transforma orice interval deschis int-un interval inchis este constanta. A se vedea http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?search_id=557154194&t=46590

Intr-adevar, enuntul este corect. Mi s-a parut ca exista un contraexemplu analog functiei continue ce nu e nicaieri monotona.

In fine, pentru completitudine reproducem si aici ideea de rezolvare: Presupunem prin absurd contrariul. Putem presupuna ca pentru doua valori

avem

. Fie multimea

Evident aceasta multime este nevida si inchisa. In orice caz, are un MINIM egal cu

. Acum ne uitam la intervalul

. Pe de o parte, e clar ca

(in caz contrar am contrazice minimalitatea elementului m de mai sus). Pe de alta parte, conform ipotezei multimea

este inchisa, deci

, contradictie.

[Citat] [Citat] 1. Fie continua astfel incat . Sa se arate ca exista a, b reale astfel incat . 2. Sa se arate ca orice continua care transforma orice interval deschis int-un interval inchis este constanta. 3.Sa se determine toate functiile astfel incat orice x,y din Q. La (1.) daca functia se presupune pozitiva, se arata cu ingelitatea Cauchy-Schwartz ca . Problema (2.) este dubioasa, iar problema (3.) nu are raspuns rezonabil (functiile pot fi prelungite prin continuitate la dreapta reala, deci problema cere determinarea tuturor functiilor Lipschitziene de exponent 2). Care este originea acestor enunturi?

Rectific pb. 1 , intr-adevar f pozitiva. In plus este de ajuns sa fie integrabila.

Cele 3 probleme au fost propuse de un prieten la olimpiada nationala si au fost publicate in cartea problemelor ce au fost in atentia comisiei pt nationala.
A doua problema s-a dat la baraj pt lotul olimpic.
Ceea e ati spus dvs. pt problema 1 este corect dar totusi nu ati rezolvat problema.

[Citat] [Citat] 3.Sa se determine toate functiile astfel incat orice x,y din Q. Chiar se poate rezolva asa ceva? Puteti cauta pe Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Holder_condition

DA

Solutia oficiala: fixam

rationale si luam

pentru orice

Atunci

Cum

poate fi ales arbitrar de mare, rezulta

deci functiile cautate sunt functiile constante.

Problema 1 (cu presupunerea ca f este strict pozitiva). Notam

Atunci A>0. Folosim inegalitatea Cauchy-Schwartz:

De aici rezulta

. Din nou folosim Cauchy-Scwartz:

sau

In sfarsit, cum functia

este continua si se anuleaza in origine, gasim si numerele a, b cerute (aici a=0).

[Citat] Sa se determine toate functiile astfel incat orice x,y din Q.

Solutie alternativa:

Mai intai se prelungeste prin continuitate functia la

. Apoi pentru orice a real, avem

Prin urmare f este derivabila in a si f'(a)=0 si atunci f este constanta.