Sa se gaseasca toate polinoamele f din R[X] a.i. f(a+b)=f(a)+f(b) orice a si b reale.

Am scos cateva concluzii :
1.

. Facand limita dupa n tinde la infinit avem ca f(0)=0.
2.Facand b=-a avem ca f(-a)=-f(a).

Dar aici m-am blocat.

[Citat] Sa se gaseasca toate polinoamele f din R[X] a.i. f(a+b)=f(a)+f(b) orice a si b reale. Am scos cateva concluzii : 1. . Facand limita dupa n tinde la infinit avem ca f(0)=0. 2.Facand b=-a avem ca f(-a)=-f(a). Dar aici m-am blocat.

Daca putem folosi analiza, este suficient sa observam ca orice polinom este functie continua. Ecuatia f(a+b)=f(a)+f(b) pentru functii continue se numeste ecuatia Cauchy si are doar solutii de forma f(x)=mx, unde m este constanta reala. Sunt convins ca am discutat pasii demonstratiei prin Forum si de asemenea prin subiectele de Bac din anii trecuti.

Se poate rezolva si fara cunostiinte de analiza, scriind forma polinomului f (cu coeficienti) si privind ecuatia de definitie sub forma f(x+b)=f(x)+f(b) ca o egalitate polinomiala. Va rezulta ca gradul lui f este 1. Daca nu reusiti, postez maine detaliile.

Cred ca am reusit. Sa-mi spuneti dc e corect.
Avem

Folosind relatia f(x+b)=f(x)+f(b), orice b( il fixam diferit de 0) si derivand avem f'(x+b)=f'(x).
Deci

de unde obtinem

.
Pt polinomul ramas de grad n-1 facem la fel

si obtinem

. si ne ramane

si conform a ceea ce am spus mai devreme cum ca f(0)=0 ne ramane

.

Sau, alternativ: pentru a=b=0 deducem f(0)=0. Apoi, notand f(1)=t, obtinem imediat prin inductie ca f(n)=nt, pentru orice n natural. In fine, considerand polinomul g(x)=f(x)-xt, constatam ca are o infinitate de radacini, deci e polinomul nul. Prin urmare, f(x)=xt, pentru orice x.

[Citat] Sau, alternativ: pentru a=b=0 deducem f(0)=0. Apoi, notand f(1)=t, obtinem imediat prin inductie ca f(n)=nt, pentru orice n natural. In fine, considerand polinomul g(x)=f(x)-xt, constatam ca are o infinitate de radacini, deci e polinomul nul. Prin urmare, f(x)=xt, pentru orice x.

Imi place foarte mult aceasta demonstratie. Multumesc.