In sistemul de coordonate xOy se considera multimea L formata din toate punctele cu ambele coordonate intregi si multimea D formata din toate dreptele care trec prin cel putin doua puncte din multimea L.
a) Sa se arate ca orice triunghi cu toate varfurile in multimea L are dublul ariei egal cu un numar intreg.
b) Sa se arate ca un poligon regulat cu n laturi (n > 2) si cu latura de lungime l ,are aria egala cu

.

c) Sa se arate ca nu exista nici un poligon regulat cu 8 laturi si cu toate varfurile in multimea L.
d) Sa se arate ca pe orice dreapta din multimea D se afla o infinitate de puncte din multimea L .
e) Sa se arate ca orice punct din plan care are ambele coordonate numere rationale,se afla pe o dreapta din multimea D .
f) Sa se gaseasca un punct P(a,b) cu proprietatea ca nu se afla pe nici o dreapta din multimea D .
g) Sa se arate ca, daca avem in plan o multime M finita de puncte cu proprietatea
ca orice dreapta care trece prin doua puncte din multimea M, mai trece prin cel
putin un punct din multimea M, atunci toate punctele multimii M sunt pe o
dreapta.

[Citat] In sistemul de coordonate xOy se considera multimea L formata din toate punctele cu ambele coordonate intregi si multimea D formata din toate dreptele care trec prin cel putin doua puncte din multimea L. a) Sa se arate ca orice triunghi cu toate varfurile in multimea L are dublul ariei egal cu un numar intreg.

Dublul ariei unui triunghi cu varfuri in punctele laticiale de coordonate

este

, unde

[Citat] b) Sa se arate ca un poligon regulat cu n laturi (n > 2) si cu latura de lungime l ,are aria egala cu .

Se calculeaza usor aoptema

, dupa care aria poligonului este

[Citat] c) Sa se arate ca nu exista nici un poligon regulat cu 8 laturi si cu toate varfurile in multimea L.

Presupunand prin absurd contrariul si folosind punctul precedent, ar rezulta

unde l este latura poligonului. Dar

(teorema lui Pitagora!!!!!!!!!), contradictie.

[Citat] d) Sa se arate ca pe orice dreapta din multimea D se afla o infinitate de puncte din multimea L .

Daca

sunt vectorii de pozitie a doua puncte laticiale DISTINCTE, atunci punctele avand vectorii de pozitie

sunt o infinitate de puncte laticiale situate pe aceeasi dreapta.

[Citat] e) Sa se arate ca orice punct din plan care are ambele coordonate numere rationale,se afla pe o dreapta din multimea D .

Daca punctul cu pricina are coordonatele

atunci acel punct, originea si punctul de coordonate

sunt situate pe aceeasi dreapta

[Citat] f) Sa se gaseasca un punct P(a,b) cu proprietatea ca nu se afla pe nici o dreapta din multimea D .

de exemplu

. O dreapta (ipotetica) din multimea D ce contine acest punct nu poate fi verticala si nici orizontala. Panta acestei drepte este asadar un numar RATIONAL nenul, etc.

[Citat] g) Sa se arate ca, daca avem in plan o multime M finita de puncte cu proprietatea ca orice dreapta care trece prin doua puncte din multimea M, mai trece prin cel putin un punct din multimea M, atunci toate punctele multimii M sunt pe o dreapta.

Aceasta este teorema Sylvester-Gallai. Poate fi rezolvata rapid cu mijloace elementare (vezi link-ul). Ceea ce este interesant, totusi, este ca a fost rezolvata la cateva zeci de ani dupa ce a fost propusa (probabil nu a fost in 'colimatorul' multor persoane...)

[Citat] c) Sa se arate ca nu exista nici un poligon regulat cu 8 laturi si cu toate varfurile in multimea L. Presupunand prin absurd contrariul si folosind punctul precedent, ar rezulta unde l este latura poligonului. Dar (teorema lui Pitagora!!!!!!!!!), contradictie.

Nu inteleg de ce aria poligonului si

sunt nr intregi

Puteti sa-mi explicati punctul g) ca nu inteleg in engleza.

[Citat] [Citat] c) Sa se arate ca nu exista nici un poligon regulat cu 8 laturi si cu toate varfurile in multimea L. Presupunand prin absurd contrariul si folosind punctul precedent, ar rezulta unde l este latura poligonului. Dar (teorema lui Pitagora!!!!!!!!!), contradictie. Nu inteleg de ce aria poligonului si sunt nr intregi

Cum poligonul poate fi decupat in triunghiuri cu varfurile in L, conform punctului a) aria este un numar rational (n-avem nevoie neaparat de intreg).

Orice latura a poligonului este un segment cu varfurile in puncte cu ambele coordonate intregi, sa zicem (m,n) si (p,q). Cu teorema lui Pitagora, sau formula distantei in plan, rezulta

[Citat] [Citat] [Citat] c) Sa se arate ca nu exista nici un poligon regulat cu 8 laturi si cu toate varfurile in multimea L. Presupunand prin absurd contrariul si folosind punctul precedent, ar rezulta unde l este latura poligonului. Dar (teorema lui Pitagora!!!!!!!!!), contradictie. Nu inteleg de ce aria poligonului si sunt nr intregi Cum poligonul poate fi decupat in triunghiuri cu varfurile in L, conform punctului a) aria este un numar rational (n-avem nevoie neaparat de intreg). Orice latura a poligonului este un segment cu varfurile in puncte cu ambele coordonate intregi, sa zicem (m,n) si (p,q). Cu teorema lui Pitagora, sau formula distantei in plan, rezulta

Acele triunghiuri au ca varfuri 2 puncte cu coordonate intregi( vf-urile poligonului) si centrul poligonului. Dar de unde stiu cum este centrul poligonului? Aici era problema mea.Daca stiu asta restul iese.

[Citat] Acele triunghiuri au ca varfuri 2 puncte cu coordonate intregi( vf-urile poligonului) si centrul poligonului. Dar de unde stiu cum este centrul poligonului? Aici era problema mea.Daca stiu asta restul iese.

Putem decupa poligonul in triunghiuri (nu neaparat congruente) cu varfurile printre varfurile poligonului. Nu avem nevoie de centrul poligonului.

[Citat] [Citat] Acele triunghiuri au ca varfuri 2 puncte cu coordonate intregi( vf-urile poligonului) si centrul poligonului. Dar de unde stiu cum este centrul poligonului? Aici era problema mea.Daca stiu asta restul iese. Putem decupa poligonul in triunghiuri (nu neaparat congruente) cu varfurile printre varfurile poligonului. Nu avem nevoie de centrul poligonului.

Multumesc...am inteles