Stiind ca :

.
sa se demonstreze ca:

mentionez ca aceasta problema esta la nivelul clasei a 10-a.

[Citat] Stiind ca : . sa se demonstreze ca: mentionez ca aceasta problema esta la nivelul clasei a 10-a.

Pai daca z=1 membraul stang este egal cu 6, deci inegalitatea este falsa. Nu cumva ati scris-o pe dos?

Da, inegalitatea, propusa de dl. Panaitopol are sens contrar.
Avem

De a zecea...? Nu cumva e de a sasea...? (nu prea stiu cum se scrie pe acest site, va rog sa modificati) |z+1| + |z^2 +1| + |z^3 +1|>2. z^2 +1=|z|^2 +1=1^2+1=2<=>|z^2 +1|=|2|=2, iar inegalitatea devine |z+1|+|z^3 +1|>0, ceea ce este evident.

[Citat] De a zecea...? Nu cumva e de a sasea...? (nu prea stiu cum se scrie pe acest site, va rog sa modificati) |z+1| + |z^2 +1| + |z^3 +1|>2. z^2 +1=|z|^2 +1 =1^2+1=2<=>|z^2 +1|=|2|=2, iar inegalitatea devine |z+1|+|z^3 +1|>0, ceea ce este evident.

Acel z este numar complex (ar fi trebuit sa fie scris ca ipoteza). Nu cred ca se invata numerele complexe in gimnaziu.
Pe de alta parte, relatia pe care v-am marcat-o in rosu nu este adevarata pentru numere complexe.

da, nu se invata(sunt in clasa a opta). imi cer scuze atunci.

imi recunosc greseala (nu am mentionat ca este un numar complex) si totusi instiintez ca aceasta problema a fost data la o finala si chiar mai recent la faze locale ale olimpiadei de matematica clasa a 10-a asa ca prezinta o mica dificultate.
pentru cei care vor sa rezolve probleme de a 6-a, de a 7-a si chiar de a 8-a pot propune probleme care sa ii ajute sa isi testeze cunostintele. multumesc. o seara buna!