O particula se afla in punctul x=0 x=1 de pe dreapta reala. In fiecare secunda particula se misca la stanga cu o unitate cu probabilitatea p=1/3, SAU la dreapta cu o unitate cu probabilitatea 1-p=2/3.

Exemplu. Particula se misca de la x=2 la x=1 cu probabilitatea p=1/3. Particula se misca de la x=5 la x=6 cu probabilitatea 1-p=1/3.

Calculati probabilitatea ca particula sa treaca la un moment dat prin origine.

edit: enuntul a fost modificat.

[Citat] O particula se afla in punctul x=0 de pe dreapta reala. In fiecare secunda particula se misca la stanga cu o unitate cu probabilitatea p=1/3, SAU la dreapta cu o unitate cu probabilitatea 1-p=2/3. Exemplu. Particula se misca de la x=2 la x=1 cu probabilitatea p=1/3. Particula se misca de la x=5 la x=6 cu probabilitatea 1-p=1/3. Calculati probabilitatea ca particula sa treaca la un moment dat prin origine.

Notam timpul cu t si cu

locul unde se afla particula la momentul t. Observam ca doar pt t=par particula poate ajunge in 0.Notam cu

probabilitatea ca la momentul t particula sa fie in 0. Fie t=2k.
Avem

O fi corect?

[Citat] [Citat] O particula se afla in punctul x=0 de pe dreapta reala. In fiecare secunda particula se misca la stanga cu o unitate cu probabilitatea p=1/3, SAU la dreapta cu o unitate cu probabilitatea 1-p=2/3. Exemplu. Particula se misca de la x=2 la x=1 cu probabilitatea p=1/3. Particula se misca de la x=5 la x=6 cu probabilitatea 1-p=1/3. Calculati probabilitatea ca particula sa treaca la un moment dat prin origine. Notam timpul cu t si cu locul unde se afla particula la momentul t. Observam ca doar pt t=par particula poate ajunge in 0.Notam cu probabilitatea ca la momentul t particula sa fie in 0. Fie t=2k. Avem O fi corect?

Am modificat enuntul... Probabilitatea calculata de dv. ia in calcul toate modurile in care particula ajunge in origine in exact k pasi.

Spiritul problemei propuse este altul: dorim sa calculam probabilitatea ca intr-un numar oarecare de pasi particula sa ajunga in origine. Acest eveniment este complementul evenimentului in care particula nu atinge niciodata originea. Enuntul a fost modificat la inceput: particula sta in momentul initial in punctul x=1.

P=1

Fie q probabilitatea cautata (acceptam faptul ca aceasta probabilitate exista...). Pentru a simplifica notatiile fie p=1/3 probabilitatea ca particula sa se miste cu o unitate la stanga.

Evident, putem privi lucrurile astfel:

Prin translatie, e clar ca acelasi lucru e valabil oriunde pe axa:

Acum sa ne gandim cum poate sa ajunga particula in origine?

• cazul 1. particula sare de la inceput in origine. Probabilitatea acestui eveniment este p
  
• cazul 2. particula sare intai la dreapta (probabilitate 1-p, apoi ajunge eventual la x=1 (probabilitate q), dupa care ajunge (tot eventual) in origine (probabilitate ... tot q).
  

Punand cap la cap se obtine ecuatia de gradul doi

In cazul p=1/3 se obtine

. Daca reusim sa aratam ca probabilitatea este strict mai mica decat unu obtinem q=1/2.