Fiind dat sirul a_n, cu a1=1 si

, cum anume demonstrez ca e convergent? adica monoton si marginit?
La monotonie am observat ca e descrescator, dar cum demonstrez? a_n+1-a_n=51/(2a_n)-a_n/2

[Citat] Fiind dat sirul a_n, cu a1=1 si , cum anume demonstrez ca e convergent? adica monoton si marginit? La monotonie am observat ca e descrescator, dar cum demonstrez? a_n+1-a_n=51/(2a_n)-a_n/2

Arati urmatoarele:

• 
  (inductie!)
  
• 
  (din nou inductie!!!).
  

Asadar sirul este marginit si descrescator incepand cu al doilea termen. Mai departe poti chiar sa-i calculezi limita rezolvand ecuatia

Poti folosi si faptul ca functia

este crescatoare pe intervalul

.

tot nu obtin nimic cu inductia... ma incurc in faptul ca sirul a_n apare si la numitor... dupa ce am presupus adevarat pt n, nu reusesc sa dem pt n+1... Cum sa fac? Nu este pe site o rezolvare pt o problema asemanatoare? (ca sa pot urma intocmai pasii)

inegalitatea mediilor

[Citat] tot nu obtin nimic cu inductia... ma incurc in faptul ca sirul a_n apare si la numitor... dupa ce am presupus adevarat pt n, nu reusesc sa dem pt n+1... Cum sa fac? Nu este pe site o rezolvare pt o problema asemanatoare? (ca sa pot urma intocmai pasii)

Metoda de mai sus cu inegalitatea mediilor, desi eleganta, nu poate fi aplicata in general. Recomandam abordarea industriala a studiului functiei

Derivand functia se obtine

De aici se vede ca functia este crescatoare pe

. Deci

metoda dvs. este corecta(studiul functiei)
incerc un exemplu de sir recurent si va rog precizati daca metoda de rezolvare este corecta si daca se poate aplica la siruri recurente de acest tip

se da sirul

se cere convergenta sirului si sa se calculeze limita sa
se observa toti termenii sirului sunt pozitivi si demonstram

inegalitatea mediilor
deci

monotonia sirului

deci sirul este descrescator si marginit inferior => sir convergent
Notam

se aplica limita asupra relatiei de recurenta se obtine

deci

[Citat] metoda dvs. este corecta(studiul functiei) incerc un exemplu de sir recurent si va rog precizati daca metoda de rezolvare este corecta si daca se poate aplica la siruri recurente de acest tip ...

Bineinteles ca metoda dv. este corecta!

In alta ordine de idei, acest sir poate fi calculat explicit. Daca notam

atunci recurenta se rescrie

deci

si in final, daca chiar vrem, putem scoate formula generala in functie de