Consider o functie f arbitrara de la R la R.Presupun ca limita functiei f la infinit este finita si egala cu valoarea reala M.
Daca folosesc definitia echivalenta cu epsilon si delta ,atunci rezulta ca oricare ar fi epsilon strict pozitiv ,exista un numar real delta(in particular chiar pozitiv) astfel incat pentru orice variabila reala x care este strict mai mare decat delta vom avea

.
Eu sunt clasa a 12 a si nu am asa de multe cunostinte de analiza,tocmai de acea am niste intrebari pe care sper sa le lamuresc.
In general ,(pentru orice functie asemanatoare celei de mai sus)care are limita la infinit finita, acel delta care exista prin definitie poate fi ales oricat de mic indiferent de alegerea lui epsilon sau exista ,pentru orice functie care are limita finita la infinit,anumiti epsiloni (cel putin unu)pentru care acel delta care exista prin definitie poate fi ales oricat de mic?Sau acel delta exista prin definitie(oricat de mic)?
De ce intreb acest lucru?Pentru ca pe un alt forum mi s-a raspuns ca acel delta poate fi ales oricat de mic (adica el exista oricat de mic prin definitie)astfel incat pentru orice variabila x din R care este strict mai mare decat delta sa avem

. dar mie nu mie prea clar.Ceea ce mi e clar este faptul ca delta poate fi ales oricat de mare dorim.Sper sa ma lamuriti in acest sens.

[Citat] Consider o functie f arbitrara de la R la R.Presupun ca limita functiei f la infinit este finita si egala cu valoarea reala M. Daca folosesc definitia echivalenta cu epsilon si delta ,atunci rezulta ca oricare ar fi epsilon strict pozitiv ,exista un numar real delta(in particular chiar pozitiv) astfel incat pentru orice variabila reala x care este strict mai mare decat delta vom avea .

Corect, aceasta este definitia.

[Citat] Eu sunt clasa a 12 a si nu am asa de multe cunostinte de analiza,tocmai de acea am niste intrebari pe care sper sa le lamuresc. In general ,(pentru orice functie asemanatoare celei de mai sus)care are limita la infinit finita, acel delta care exista prin definitie poate fi ales oricat de mic indiferent de alegerea lui epsilon sau exista ,pentru orice functie care are limita finita la infinit,anumiti epsiloni (cel putin unu)pentru care acel delta care exista prin definitie poate fi ales oricat de mic?Sau acel delta exista prin definitie(oricat de mic)? De ce intreb acest lucru?Pentru ca pe un alt forum mi s-a raspuns ca acel delta poate fi ales oricat de mic (adica el exista oricat de mic prin definitie)astfel incat pentru orice variabila x din R care este strict mai mare decat delta sa avem . dar mie nu mie prea clar.Ceea ce mi e clar este faptul ca delta poate fi ales oricat de mare dorim.Sper sa ma lamuriti in acest sens.

Nu exista restrictii asupra lui

, dar este usor de vazut ca poate fi ales ORICAT DE MARE. Pe de alta parte trebuie realizat faptul ca

DEPINDE DE

.

Am inteles ceea ce spuneti,dar o sa va mai pun inca odata o intrebare la care va rog sa-mi raspundeti iar dupa aceea o sa va da ti seama si de ce v-am pus-o.
Intrebare1:Pentru orice functie f de la R la R,care are limita finita M la infinit(putem presupune intotdeauna sau se poate demonstra)ca exista cel putin un epsilon strict pozitiv a.i acel delta care depinde de acest epsilon sa poata fi ales oricat de mic astfel incat pentru orice variabila x din R care este strict mai mare decat delta de epsilon sa rezulte

SAU NU ESTE ADEVARAT ACEST LUCRU???
Acum o sa consider o alta problema la care vreau sa-mi raspundeti daca am gandit rezolvarea bine ,iar dupa aceea o sa va da ti seama de ce v am pus intrebarea 1.
Consider o functie f arbitrara de la R la R care este nemarginita si descrescatoare ,atunci functia are limita la infinit finita sau infinita (-infinit).
Din ipoteza stiu ca functia este nemarginita,atunci exista 3 situatii:
1)Fie functia este marginita inferior si nemarginita superior
2)Fie functia este nemarginita inferior si marginita superior.
3)Fie functia este simultan nemarginita atata inferior cat si superior.
Daca i-au primul caz,si consider un sir de numere reale arbitrar crescator x(n) care tinde la infinit ,atunci sirul de valori al functiei este marginit inferior si descrescator,asta inseamna ca sirul este convergent.Cum acest sir a fost ales in mod arbitrar rezulta ca oricare ar fi un sir de numere reale crescator convergent catre infinit,atunci sirul de valori tinde catre o valoare reala .De aici rezula ca limita functiei la infinit este egala cu un numar real.
In celelalte 2 cazuri rezulta ca functia are limita la infinit egala cu minus infinit .Bun,si acum incerc eu sa arat prin reducere la absurd celelalte 2 cazuri.
Il i-au mai intai cel de al doilea caz si presupun ca functia f nu are limita la infinit egala cu - infinit.Atunci exista 2 situati ori limita este finita ori este +infinit.In cazul in care limita functiei este finita si egala cu M rezulta conform definitiei:
Propozitia 1:Oricare ar fi epsilon strict pozitiv ,exista un numar real delta astfel incat pentru orice variabila reala x care este strict mai mare decat delta vom avea

.In particular ,aleg acum un epsilon arbitrar si folosind aceasta propozitie pot demonstra ca exista un delta (care depinde de acest epsilon arbitrar) a.i pentru orice x din R care este strict mai mare decat delta de epsilon sa rezulte modul din f(x)<modul din M+epsilon.
Acum din ipoteza (al doilea caz) stiu ca functia este nemarginita inferior,de aici rezulta:
Propozitia2:Oricare ar fi un numar real( in particular si pentru modul din M+epsilon) exista o variabila x din R a.i f(x)>modul din M+epsilon.
Acum acel x care exista din propozitia 2 de unde sa stiu eu ca este strict mare decat delta din prop.1Daca presupun ca acea variabila x ,care exista din prop2.,este strict mai mare decat delta ,atuncti cele 2 propozitii se contrazic:dar daca acea variabila x este strict mai mica decat acel delta:intreb eu (oare exista un anume epsilon pe care sa-l aleg de la bun inceput astfel incat acel delta care depinde de acest epsilon sa poata fi ales oricat de mic a.i pentru orice variabila x din R care este strict mai mare decat delta de epsilon sa rezulte

si astfel sa putem ajunge la o contradictie cu cele 2 propoziti)?????Asta era scopul intrebarii 1.
Acum daca i au cazul cand limita functiei la infinit este +infinit, vreau sa-mi spuneti care dintre urmatoarele rationamente sunt corecte:
Ratinament 1:
Consider un sir real crescator x(n) ales la intamplare,de aici rezulta ca si sirul de valori f(x(n)) tinde la infinit, iar de aici rezulta ca acest sir admite un subsir f(x(k(n)) care este crescator.Dar sirul x(k(n)) este un subir al sirului x(n) care cred ca este crescator,avand in vedere ca sirul x(n) este crescator si daca folosesc acum ipoteza rezulta ca sirul f(x(k(n))este descrescator .(contradictie).
Aici nu stiu daca este adevarata urmatoarea implicatie:daca un sir de numere reale este crescator,atunci orice subsir al sau este crescator????????Pentru ca daca este adevarata implicatia ,atunci merge rationamentul asta.
Rationament 2:
Daca aleg un sir oarecare a.i. f(x1) > f(x2) > ... > f(xn) > .... l = +inf, asta ar insemna ca f(x1) > +inf (contradictie pt ca f(x1) ales este real)

[Citat] Am inteles ceea ce spuneti,dar o sa va mai pun inca odata o intrebare la care va rog sa-mi raspundeti iar dupa aceea o sa va da ti seama si de ce v-am pus-o. Intrebare1:Pentru orice functie f de la R la R,care are limita finita M la infinit(putem presupune intotdeauna sau se poate demonstra)ca exista cel putin un epsilon strict pozitiv a.i acel delta care depinde de acest epsilon sa poata fi ales oricat de mic astfel incat pentru orice variabila x din R care este strict mai mare decat delta de epsilon sa rezulte SAU NU ESTE ADEVARAT ACEST LUCRU???

Nu este adevarat, pt ca ar rezulta ca functia este marginita.

[Citat] Acum o sa consider o alta problema la care vreau sa-mi raspundeti daca am gandit rezolvarea bine ,iar dupa aceea o sa va da ti seama de ce v am pus intrebarea 1. Consider o functie f arbitrara de la R la R care este nemarginita si descrescatoare ,atunci functia are limita la infinit finita sau infinita (-infinit). Din ipoteza stiu ca functia este nemarginita,atunci exista 3 situatii: 1)Fie functia este marginita inferior si nemarginita superior 2)Fie functia este nemarginita inferior si marginita superior. 3)Fie functia este simultan nemarginita atata inferior cat si superior. Daca i-au primul caz,si consider un sir de numere reale arbitrar crescator x(n) care tinde la infinit ,atunci sirul de valori al functiei este marginit inferior si descrescator,asta inseamna ca sirul este convergent. ...

Nu este adevarat, pentru ca functia nu este descrescatoare.