Se da un punct P si un unghi AOB .Prin P se duc doua drepte oarecare.Acestea taie latura OA a unghiului ,respectiv in A',A",iar latura OB in B',B".Sa se demonstreze ca A'B" si B'A" se taie pe o dreapta fixa care trece prin O,cand secantele prin P variaza.Se cere ca problema sa fie rezolvata analitic.
Am incercat mai multe metode de a o rezolva.De exemplu am luat OB drept axa Ox,sau am luat P drept originea axelor.Am scris ecuatia dreptelor care trec prin P pentru doua pante variabile m1 si m2.Dar firul se rupe aproape de final,pentru ca nu reusesc sa elimin m1 si m2 si sa obtin locul geometric.Orice sugesie este binevenita.Va multumesc anticipat!

Consideram unghiul AOB cu latura OB pe axa OX si varful unghiului in originea axelor rectangulare.Fie P(a,b) un punct oarecare si perechile de drepte PA'A",PB'B" si respectiv PC'C",PD'D".Pantele dreptelor OA,OB,PA'A",PB'B", PC'C" si PD'D" sunt m,0,m1,m2,m3 si respectiv m4.Fie punctul de intersectie ale dreptelor A'B" si B'A" , M(c,d) si respectiv cel al dreptelor C'D" si D'C" ,N(e,f).Pentru ca punctele O,M si N sa fie coliniare trebuie ca sa existe egalitatea de=cf.

Multumesc mult

Am putea simplifica mai mult calculele daca am considera de fapt doar perechile de drepte PA'A' si PB'B" si respectiv PA'A' si PC'C" renuntand astfel la dreapta PD'D".

Multumesc pentru sugestiile dumneavoastra inspirate.Ceea ce ma bucura este ca in sfarsit am gasit ecuatia locului geometric.In incercarile mele anterioare singurul inconvenient era alegerea neconvenabila a axelor.De data aceasta am luat drept axe ale unui reper ortogonal bisectoarea unghiului AOB,respectiv bisectoarea unghiului suplementar acestuia.Astfel (OA):y=mx;(OB):y=-mx;P((eroare: eq.0/23449)(x_p,y_p).Dupa alegerea astfel facuta singura dificultate a fost sa nu ma incurc la calcule,iar dreapta cautata este (eroare: eq.1/23449)y=m^2x_px/y_p