Sa se determine subgrupurile grupului

,unde

-multimea radacinilor de ord n ale unitatii.

Grupul radacinilor de ordinul n ale unitatii (din corpul numerelor complexe)
este izomorf cu grupul ZZ modulo n (cu operatia de adunare, desigur).
Ambele grupuri sunt ciclice, ajunge sa trimitem un generator fixat,
de exemplu cos(2Pi/n) + i sin(2Pi/n)
in alt generator fixat, de exemplu
1 modulo n.

Problema se reformuleaza:
Care sunt subgrupurile grupului (ciclic)

deoarece acestea se "transpun" prin izomorfismul de mai sus
in subgrupuri ale grupului radacinilor de ordinul n ale unitatii U(n).

Se arata relativ usor, ca subgrupurile lui ZZ / nZZ, sunt de asemenea ciclice:

Fie

un subgrup al lui ZZ / nZZ.
Aici am luat reprezentantii intre 1 si (n-1), pentru a putea face urmatorul argument:

Daca G nu este subgrupul trivial, atunci mai exista un element

ales cu reprezentant numar natural minim g.

Acesta este generator.

Altfel: Elementele g, g+g, g+g+g, ... luate cu caciula nu epuizeaza grupul G. Mai exista un element

care nu este in lista. Atunci obtinem o contradictie aplicand algoritmul lui Euclid elementelor h si g: Restul r obtinut impartind cu rest pe h la g nu este nul, este mai mic decat g in IN si (r caciula) este desigur de asemenea in G.
Contradictie.

Explicit:
Pentru fiecare divizor natural d al lui n avem atunci

pentru un numar natural e. Lui d ii corespunde atunci subgrupul G(d) cu elementele

0, d, 2d, ... , (e-1)d

toate luate cu caciula in ZZ / nZZ.
Toate subgrupurile lui ZZ / nZZ sunt de acest tip.
(d cu caciula este generator mai sus.)
Acest grup se noteaza conventional cu d.(ZZ / nZZ ).
(Notatie de module peste inelul ZZ / nZZ...)

Pentru a vedea care sunt subgrupurile lui U(n), asociem fiecarui grup mentionat mai sus subgrupul U(n)^d, cu elementele (ce se corespund prin izomorfisuml mentionat)