Sa intelegem mai bine o problema mai usoara:
Fie f functia de la IR la IR data de
f(x) = D(x-a)(x-b)(x-c)
Atunci
f'(x) este suma monoamelor obtinute prin "omiterea cate unui factor" liniar in x. Deci avem:
f'(a) = D(a-b)(a-c)
f'(b) = D(b-a)(b-c)
f'(c) = D(c-a)(c-b)
Problema -in acest caz particular- sugereaza ca daca impunem conditiile/ecuatiile:
f'(a)=1 si f'(b)=2,
atunci prin eliminari bine ghicite, dam de f'(c) ca fiind numar bine determinat.
De fapt, destul de repede combinam:
f'(a)+f'(b) = D(a-b) [ (a-c)-(b-c) ] = D(a-b)(a-b) = D(a-b)^2
si
f'(a)f'(b) = -D(a-b)^2 . D(c-a)(c-b)
si se vede usor cum facem rost de f'(c).
Inca nu am terminat insa analiza, este bine sa putem pune relatia gasita intr-o forma "uniform", simpla, compacta, simetrica...
Da, se pare ca cel mai bine ne aducem a doua zi aminte de:
f'(a)f'(b) + f'(b)f'(c) + f'(c)f'(a) = 0.
(De ce are loc aceasta relatie?)
Suntem gata sa abordam problema generala.
Cititorul *cu timp* este rugat sa incerce aceeasi eliminare pentru o functie f de gradul 4 si sa vada ca gradul 2 se spulbera de la sine...
In nici un caz sa nu citeasca mai departe.
Aceste lucruri sunt esentiale in procesul rezolvarii si nu sunt un ocol nici macar daca solutia este vazuta pe baza de experienta de calcul. Cazurile particulare impregneaza solutia pe durata pe retina.
Bun.
Daca f este polinom de gradul 2 cu radacinile a,b, se gaseste usor relatia:
f'(a) + f'(b) = 0.
Daca f este polinom de gradul 4 cu radacinile a,b,c,d, este o mica problema de calcul sau programare de a da de relatia ghicita si adevarata:
f'(b)f'(c)f'(d) +
f'(a) f'(c)f'(d) +
f'(a)f'(b) f'(d) +
f'(a)f'(b)f'(c) = 0 .
Cum o demonstram in general?
Pentru a nu lua in calcul polinoame de grade din ce in ce mai mari in radacinile lui f, este poate bine -macar pentru scopul problemei- sa impartim cu
f'(a)f'(b)f'(c)f'(d)...
Este acest lucru posibil? Da: In problema, derivatele lui f, calculate in primele (n-1) radacini nu se anuleaza. Deci acestea nu sunt duble ci simple. Deci si ultima (a n-a) este o radacina simpla. Deci produsul nu se anuleaza.
Deci putem divide cu el.
Facem atunci rost de lucruri de forma 1/f'(a), unde a este cate o radacina a lui f. Avem de aratat ca suma dupa cate o radacina a din 1/f'(a) este nula...
A vazut cineva pe undeva vreo relatie de asta?
Raspuns: Cel putin pe clasa a XII-a: DA!
Chiar daca implicit...
Dar daca nu am vazut, cum ajungem la a vedea cam pe unde avem asa ceva?
Pai sa incercam sa scriem cateva formule.
Fie a,b,c,... radacinile lui f.
Atunci f'(x) este derivata lui (x-a)(x-b)(x-c)...
prin derivare obtinem o suma de produse de cate (n-1) factori de gradul I,
dintre acesti factori mai intai lipsind (x-a), apoi (x-b), apoi (x-c), ...
Daca calculam f'(a) avem (a-b)(a-c)...
iar 1/f'(a) este 1/( (a-b)(a-c)... )
Cu ce seamana acest lucru?
Cat de departe este f'(a) de f(a) ?
Cat de departe este 1/f'(a) de 1/f(a) ?
Apare functia 1/f(x) in scena... Este obiectul asta "simplu", de exemplu mai simplu decat monoamele acelea de grad mare?
Cel tarziu acum trebuie sa fim in stare sa abordam problema.
Daca intr-o carte veti vedea solutia problemei, incepand cu liniile de mai jos fara comentariu, matematica va va apare ca o magie a inexplicabilului.
Daca cititi cele de mai sus sau in general mai bine rumegati ce e de aratat si cum merge problem (in acest caz, dar si in multe altele), lucrurile apar simple.
INCEPUTUL SOLUTIEI:
Afirmatie: Fie f un polinom de gradul n cu radacinile distincte. (f este polinom cu coeficienti intr-un corp K ce contine numerele rationale.) Fie A multimea radacinilor lui. Deoarece radacinile sunt distincte, A are n elemente si f'(a) este nenul pentru orice a in A.
Atunci are loc relatia in K:
DEMONSTRATIE:
Pe clasa a XII-a se arata ca 1/f, o functie rationala cu numitorul avand radacini diferite, se scrie (unic) ca o suma de FRACTII SIMPLE:
Aici, numerele/constantele C(a) sunt unic determinate. Avem cumva o descriere mai buna a fiecarui C(a), pentru cele n valori ale lui a in A?
Da: Inmultim relatia de mai sus cu f(x), obtinem o egalitate intre polinoame in x de grad cel mult n.
Pe partea stanga sta polinomul constant 1.
Pe dreapta avem o suma de monoame in (x-radacina).
Factorul (x-a), pentru o radacina a fixata, este "aproape in fiecare" din acesti n termeni. Evaluand egalitatea aceasta in a, obtinem:
Acum stim cine este C(a)...
Mai ramane sa demonstram egalitatea
Aceasta rezulta tot din ecuatia definitorie, dupa ce inmultim cu f(x), obtinem egalitate intre polinoame obtinute din operatii de adunare, scadere cu polinoame de grad cel mult (n-1)
prin identificarea termenilor in grad x^(n-1) .
Problema propusa se rezolva acum rezolvand ecuatia
SOLUTIE GATA.
Comentariu:
Din nou am avut de rezolvat o problema obtinuta prin particularizarea unei relatii intre radacinile unui polinom. Relatia, nici macar forma relatiei, nu ni s-a dat. Acest lucru nu este tocami fair din punct de vedere didactic, dar este o buna afacere sportiva... Astfel de probleme se dau in cursurile de numerica din facultate...
Poate ca incetul cu incetul realizeaza fiecare, de ce este fair sa se comunice sursa... In astfel de cursuri se vehiculeaza astfel de formule...
Morala si principalul lucru invatat din aceasta problema:
Descompunerea in fractii simple este simpla cand radacinile sunt simple si numaratorul UNU, nu trebuie sa ne chinuim...
Exemplu: (Cod maxima)
Cu datele de mai sus, putem pune de exemplu urmatoarea problema
(in mod mai putin cinstit, daca nu amintim si cum se face...)
Fie f un polinom de grad 4 cu radacinile a,b,c,d.
Se stie ca
f'(a) = -66/6 = 11 ,
f'(b) = 18/6 = 3 ,
f'(c) = -24/6 = -4 .
Sa se calculeze f'(d).
De ce n-am pus problema in mod cinstit?
Majoritatea oamenilor vor considera f ca un polinom generic de forma
D(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)
vor lua cele trei ecuatii si vor incerca sa elimine...
Solutia este in cele mai multe cazuri eliminare.
Nu se ajunge la esenta care a permis "compunerea rapida" si astfel nu se descopera nimic didactic, sau util, sau matricea generala...
Pacat, pentru ca daca nu s-ar omite matricea generala s-ar primi un jalon important la scrierea de descompuneri in fractii simple de functii rationale, lucru vital pentru un bac...
Access general
Conţine mesaje necitite
