Fie f:R-R o functie descrescatoare.Cum arat ca limita functiei in +00 exista?

Daca functia este marginita (inferior), atunci limita exista si este si ea finita. Se aplica faptul ca pentru orice sir crescator ce tinde la infinit, ( x(n) ) sirul valorilor ( f(x(n)) ) este descrescator si marginit (inferior).

Daca functia nu este marginita pe [ 0, infinit ) sa zicem, rezulta imediat ca limita exista si este -infinit. (De la definitie.)

Multumesc!
As mai avea o mica intrebare:
In cazul in care functia nu este marginita inferior pe o vecinatate a lui 00 si x(n) este un sir de numere reale crescator care tinde la infinit(ales in mod arbitrar),atunci sirul de valori al functiei f(x(n)) este nemarginit inferior.Acest lucru rezulta in mod intuitiv sau se poate argumenta?
As mai avea inca o intrebare in legatura cu definitia cu siruri a limitei de functii in punctul infinit.
Care dintre urmatoarele definitii sunt corecte sau ambele sunt corecte?
1)Spunem ca o functie are limita in infinit egala cu L daca si numai daca pentru orice sir de numere reale x(n) care tinde la infinit, sirul de valori al functiei tinde la L.
2)Spunem ca o functie are limita in infinit egala cu L daca si numai daca pentru orice sir de numere reale (crescator) x(n) care tinde la infinit,sirul de valori al functiei tinde la L.
De ce intreb acest lucru?Pentru ca un sir de numere reale care tinde la infinit poate sa fie crescator sau nu.

Ca definitie a unei functii continue (pe intervale sau pe spatii metrice sau topologice, daca trebuie sa intram in nebunii) o buna idee este sa folosim:

DEF:
O functie f este continua,
daca si numai daca
transforma un sir convergent arbitrar din domeniul de definitie
--- la a sa zicem, a venind pe lume dupa ce am inventat sirul, ---
intr-un sir convergent la f(a) in domeniul de valori.

Aici a trebuie sa fie in domeniul de definitie...
(In problema nu e... de aceea oamenii vorbesc de lucruri "improprii"..)

Daca vrem sa tratam analiza cu "limite improprii" din liceu in acelasi mod omogen cu intervalele obisnuite, este bine sa introducem IR-barat,

O vecinatate a lui infinit este atunci o multime ce contine acest punct si de asemenea un interval de forma (a , infinit) unde a este un numar real.

(De fapt, IR-barate este topologic acelasi lucru cu intervalul compact [0,1], un fel de rescalare a extinderii funcitei crescatoare tangenta sau arctangenta -definita cunde trebuie- da legatura.
Deoarece intelegem foarte bine [0,1], nu ar trebui sa avem probleme cu IR-barat, problema este poate mai usor didactic de inteles cu [0,1], apoi doarme omul o noapte, se trezeste si nu mai stie ce probleme erau cu IR-barat...)



La fel (corespunzator) si cu vecinatatile lui minus infinit.

O vecinatate in IR-barat a lui a este o submultime (din IR-barat) ce contine un interval deschis in jurul lui a.

Se arata usor, ca cele doua proprietati sunt echivalente pentru o functie de la IR-barat cu valori in IR-barat.
(1) este definitia de mai sus, intr-un caz particular...
(1) implica evident (2).

Aratam ca (2) implica (1).
Ma leg de infinit (in loc de minus infinit), propozitiile se fac mai usor.
(Descresterea devine crestere...)

Fie x(n) un sir real arbitrar ce converge la infinit.
Vrem sa aratam ca ( f(x(n)) ) de asemenea converge la infinit, stiind (2).
Daca nu este asa, gasim un subsir ( f(x(n(k))) ) unde k se plimba 1,2,...
care nu converge la infinit, deci care "evita o vecinatate adequata" a lui infinit.

Ne uitam la subsirul ( x(n(k)) ).
El tinde la infinit, deoarece chiar ( x(n) ) tinde.
Se arata usor ca putem trece la un subsir CRESCATOR ( x(n(k(l))) ), l se plimba.

(Luam primul termen. De la o vreme, subsirul cu pricina trebuie sa scape de aceasta piedica, deoarece tinde la infinit, intra deci in ( piedica+1 , infinit ] de la o vreme cu totul. Avem al doilea termen. Il luam ca piedica noua. Asa construim recursiv...)

Obtinem contradictie:
Sub-sub-sub-sirul construit converge crescator la infinit,
dar valorile lui f evita o vecinatate a lui infinit.
Contradictie.
Gata.