Cum impartim un semicerc in 2 suprafete de arii egale prin trasarea unei coarde paralele cu diametrul baza?(am incercat atat cu calcul integral cat si prin arii de sectoare si ajung la niste ecuatii imposibile)

Fara a restrange generalitatea, consideram raza cercului dat a fi normata la UNU.

Fie 2x unghiul la centru (masurat in radiani) ce subintine coarda din enunt (paralela cu diametrul).
Care este atunci aria figurii delimitate de aceasta coarda si (semi)cercul in cauza?
Es este diferenta dintre
- aria unui sector de cerc, care este (2x)/2,
- aria unui triunghi isoscel cu baza coarda data, de lungime 2 sin(x) si inaltime cos(x), deci aria este sin(x)cos(x) = sin(2x) /2.

Obtinem ecuatia "transcendenta" (nealgebrica)
2x/2 - sin(2x)/2 = pi/4 pe care o rescriem

E clar ca nu putem "pune mana explicit" pe solutie.
Ceea ce putem face este de a arata existenta si unicitatea unei astfel de solutii (2x) in intervalul [ 0, pi ], deoarece f este strict crescatoare aici, avand derivata >0 pe (0,pi). In plus:
f(0) = 0
f(pi)= pi
(ceea ce mai bine vedem geometric. De fapt, problema da un exemplu de intuitie geometrica pentru teorema lui Rolle... Lucru bun! Profesori, asa ceva se poate explica usor didactic, mersul problemei cand miscam coarda paralela cu diametrul de la el pana la coarda tangenta degenerata ar trebui sa fie accesibil si in gimnaziu...)

Cam cat e acest punct al lui f cu valoarea functie f egala cu Pi/2 in el?
Cod pari:


? x = solve( t=0, Pi, t-sin(t)-Pi/2 ) /2
%3 = 1.154940730005028630443316890
? x / Pi * 180
%4 = 66.17322941704645952467655890? 2*x
%5 = 2.309881460010057260886633779
? 2 * x / Pi * 180
%6 = 132.3464588340929190493531178

Deci unghiul la centru ce "vede" coarda cautata este cam pe la 132 de grade...

Problema este mai departe instructiva si recomand a se studia:
- cat de departe este raportul dintre aria subantinsa de coarda si jumatate din aria cercului, cand coarda este latura triughiului echilateral (120 de grade in loc de 132 si ceva...)
- (neaparat pentru fizicieni!!!) ce solutie se obtine daca folosim una din urmatoarele aproximari pentru sinus:
(a) sin(y) ~ y/1! - y^3/3! (bunicica, eroarea este de ordinul lui y^5)
(b) sin(y) ~ y/1! - y^3/3! + y^5/5! (buna destul, eroarea... y^7)
- sa se scrie explicit formula recursiva Newton ce programata intr-o linie cu orice limbaj de programare da dupa cativa pasi de recursiune cam valoarea de mai sus.

Daca exista dubii / doleante dau detalii, dar dati-mi intotdeauna de stire. (Astia ii zic feed-back, chestia cu "bec"uletul e intotdeauna importanta...)

Sper ca n-am gresit picolo, pi dincolo, deci pistitat...

Multumesc mult!La aceeasi ecuatie am ajuns si eu dar in mod evident m-am blocat la rezolvare!