Se da un segment de dreapta de marime

.Sa se construiasca cu rigla negradata si compasul segmentul de dreapta de marime

.

[Citat] Se da un segment de marime .Sa se construiasca cu rigla negradata si compasul segmentul de marime .

O solutie pentru una dintre putinele duminici care ne-au mai ramas din vacanta! Luam segmentul si-l impachetam cu grija pana facem un cub; latura acestuia va fi segmentul cerut.
Obs: dupa cum vezi n-am avut nevoie nici de rigla si nici de compas! Nici macar de o UNITATE DE MASURA! Tu ai nevoie?
Numai bine,

[Citat] [Citat] Se da un segment de marime .Sa se construiasca cu rigla negradata si compasul segmentul de marime . O solutie pentru una dintre putinele duminici care ne-au mai ramas din vacanta! Luam segmentul si-l impachetam cu grija pana facem un cub; latura acestuia va fi segmentul cerut. Obs: dupa cum vezi n-am avut nevoie nici de rigla si nici de compas! Nici macar de o UNITATE DE MASURA! Tu ai nevoie? Numai bine,

Nu inteleg gluma Dvs.!Sugerati cumva ca nu este posibila aceasta constructie grafica cu rigla negradata si cu compasul?

In principiu avem nevoie de o unitate de masura, altfel nu putem sa distingem xxx de 2009xxx. (Mai in gluma: Deoarece xxx=1, putem lua si x=1... Daca cineva doreste sa infirme egalitatea xxx=1, va trebui sa mi-l plaseze pe 1 altundeva...)

Pe de alta parte se stie ca cu rigla si compasul se pot construi numere care se afla intr-un lant de extinderi de radical de ordinul 2 al corpului numerelor reale.

Si numai astfel de numere.

(Literatura: Sa se caute constructia cu rigla si compasul a poligoanelor regulate cu n laturi si motivarea pentru care numai "unele" astfel de poligoane regulate pot fi construite cu rigla si compasul.)

Pentru xxx=2, se stie ca nu exista o constructie cu rigla si compasul a lui x, una din celebrele probleme antice rezolvare "ca lumea" numai de pe vremea lui Galois.

Si daca nu consideram

,caz in care nu mai e necesar nici rigla si nici compas deoarece evident rezulta in multimea numerelor reale

,nu putem totusi gasi o metoda de construire cu rigla negradata si compasul?

Bun, incerc sa formulez problema incat ea sa aibe sens. Apoi descriu ce se stie si o calific undeva intre clasa Ia (adunari si scaderi, aritmetica, ce mai) si teoria corpurilor de numere (extinderi finite, algebrice ale corpului numerelor rationale, aritmetica, ce mai.)

Se da o dreapta in planul (analitic) cartezian, pe care am marcat doua puncte, zero si unu, O si U pe scurt. Raporturile de lungimi de segmente, masurate ca numere, dau atunci sens la ceea ce am putea numi lungime. Un "numar rational" poate fi atunci construit cu rigla (si compasul) folosind teorema lui Thales, ca in manual. Pentru a ne convinge ca si "numere reale" ar putea fi "pe dreapta" (dupa identificare), trebuie sa stim ceva de siruri Cauchy, deci am terminat si analiza de clasa a XI, si constructia corpului numerelor reale (de la facultate) si mai bine formulam problema sub forma:

Pe planul analitic cartezian IR x IR se cunosc punctele (0,0) si (1,0).
Fie x in IR.
Sa se discute posibilitatea construirii prin intersectia de figuri geometrice ce sunt fie drepte, fie cercuri in planul cartezian, a punctului (x,0).

Observatie: "Intersectia de figuri geometrice" revine algebric (in geometria algebrica (afina)) la rezolvarea de sisteme de ecuatii (asociate figurilor).

In cazul de fata se poate observa "usor", ca daca putem construi astfel un punct (x,y) din plan, atunci coordonate sunt elemente in corpuri algebrice, obtinute adaugand inductiv la pasul n lui Q
-radacini patrate de coordonate
-sume, diferente, multiplii de coordonate
construite la pasul anterior.
La pasul zero avem construite numerele/punctele din Q x Q (ca submultime in IR x IR).

De exemplu, punctul de coordonate (x,0) unde x este special egal cu

se poate construi cu rigla si compasul.

Bun, asa ceva se poate explica cu aritmetica de clasa a VIIIa, poate.

Mai problematic este sa aratam ca numai asa ceva se poate construi.
"Orice numar transcendent ne da un contraexemplu."
Dar din pacate la nivel de clasa a XIIa pot doar demonstra ca exista numere transcendente (argument de cardinalitate), dar mi-e greu sa scriu unul...

Sa ramanem atunci la cel mai ieftin exemplu de ceva ce nu e construibil. De ce nu putem construi cu rigla si compasul

lucru care era undeva si in intrebarile lui Arhimede, cand scalda in cuburi dupa ce se ingrasase de doua ori mai mult decat asteptat.

Suntem aici minimalisti, vrem doar UN CONTRAEXEMPLU explicit.

Pentru asta, trebuie stiuta sau simulata prin artificii o parte din teoria Galois, de pilda faptul ca existe GRADUL unei extensii de corpuri, (dimensiunea corpului mai mare considerat ca spatiu vectorial peste corpul mai mic, prin functorul de uitare a structurii,) si a faptului ca aceasta satisface o relatie de multiplicativitate la extensii repetate.

Bun. O extindere obtinuta prin adjunctionarea repetata de radacini patrate va avea grad o putere a lui 2 peste Q.

Corpul (engleza Field, germana K"orper, prefer notatia germana aici...)

are baza

ca spatiu vectorial peste Q, deci are grad 3 peste Q.
Atunci corpul K nu poate fi realizat ca subcorp al unui corp de grad 2 la ceva, deoareca 3 nu divide o putere a lui 2.

Daca gasim un segment de dreapta unitate corespunzator atunci eu cred ca putem face constructia grafica ceruta cu rigla negradata si compasul.Cum gasim acel segment de dreapta unitate?Eu cred ca daca gasim segmentul de dreapta unitate atunci acesta si cu segmentul de dreapta

se poate construi usor segmentul de dreapta

.In concluzie asa cum am considerat un segment de dreapta oarecare

putem considera un alt segment de dreapta oarecare ca fiind

si astfel am ajunge si la un segment de dreapta unitate corespunzator atat lui

si lui

cat si evident al lui

.Gresesc cumva?

[Citat] Daca gasim un segment de dreapta unitate corespunzator atunci eu cred ca putem face constructia grafica ceruta cu rigla negradata si compasul.Cum gasim acel segment de dreapta unitate?Eu cred ca daca gasim segmentul de dreapta unitate atunci acesta si cu segmentul de dreapta se poate construi usor segmentul de dreapta .In concluzie asa cum am considerat un segment de dreapta oarecare putem considera un alt segment de dreapta oarecare ca fiind si astfel am ajunge si la un segment de dreapta unitate corespunzator atat lui si lui cat si evident al lui .Gresesc cumva?

Pai ar trebui sa alegem unitatea complet arbitrar, nu? Apoi, nu inteleg de ce as avea voie sa imi aleg un segment oarecare ca fiind

din moment ce acesta depinde de

.

Ce am inteles eu este ca plecand de la orice segment x^3, eu pot desena un segment de orice lungime pe foaie si sa zic ca este x. (Eventual pot sa aleg unitatea, convenabil, dupa ce il desenez) Asta mi se pare logic dar totusi nu rezolva problema.

Cu segmentele de dreapta de marime

si cel de marime

acestea fiind neegale intre ele atunci putem construi cu rigla negradata si compasul segmentul de marime

;cu cele de marime

si

putem construi segmentul de dreapta de marime egala cu unitatea;cu cele de marime

si

putem construi segmentul de dreapta de marime

evident toate aceste segmente de dreapta sunt construite cu rigla negradata si compasul si au aceiasi unitate de masura.Gresesc cumva?

O mare rugaminte: Care este enuntul problemei?

As se tine cont de:

Urmatoarea propozitie nu are nici un fel de sens:
Fie x^3 pe o dreapta.
Rog a mi se specifica x ca obiect (numar sau punct?) si inmultirea prin care compun "din bucati" x^3. Daca oamenii "identifica" numere si puncte, este bine sa stie ceea ce fac. Daca nu degeneram in poezie. Recunosc, este frumoasa, avem o droaie de pareri, fiecare se simte atins. Dar din pacate nu este forumul potrivit pentru aceasta. (Mai exista si exceptii, Man Luci, de exemplu, cand pretindea ca e poet in functii Blaschke intelegea din formule si structura ceva mai mult decat mine inainte de examen... Totul e relativ.)

Esential: Ce se da.
Esential: Ceea ce se cere trebuie sa fie bine definit: Este un numar, un punct, ce proprietati ce cer pentru "lucrul de construit".

[Citat] O mare rugaminte: Care este enuntul problemei?

Spuneti va rog concret ce nu este clar in enuntul problemei?Daca in problema este vorba de doua segmente de dreapta atunci eu cred ca aceste segmente de dreapta se masoara in "cm","inch",etc...sau in orice unitati de lungime vreti Dvs.!De fapt dupa construire puteti verifica rezultatul in ce unitati de lungime doriti.