fie patrulaterul ABCD avand AB=CD=a,BC=b,DA=c,astfel incat c=b+a,bc=a*a/2,a>0,c>b>0,stiind ca ABCD este trapez isoscel sa se arate ca cercurile de diametre AB, BC, CD, DA au un punct comun
PS mie mi se pare ca cercurile de diametre BC si DA nu trec prin punctul comun al cercurilor de diametre AB si CD

Nici nu am vazut bine conditia c=a+b, am si trasat o paralela prin B la CD.
Astfel, trapezul isoscel dat se sparge intr-un paralelogram (cu laturile a si b) si un triunghi isoscel (mai intai) cu laturile a, a si c-b=a. Deci triunghiul e echilateral.

Inaltimea (dintre laturile paralele) este inaltimea triunghiului echilateral cu latura a, deci ( a/2 ori (radical din 3)).

Cumva trebuie sa folosim si relatia aa/2=bc.
Da, scriind b=ax, cu x pe post de necunoscuta o scurta vreme, avem atunci:
aa/2 = (ax)(ax=a), i.e.
1/2 = x(1+x).
Nu insist sa rezolv asa ceva aici. (Nu avem nevoie...)

Acum ne uitam la cele doua cercuri de diametre laturile paralele ale trapezului isoscel.

Rumegare psihologica:
Din motive de simetrie, ele se taie fie intr-un punct pe axa de simetrie, fie in doua simetrice fata de axa. Ne uitam la ce avem de demonstrat si banuim ca trebuie sa cam fie doau un punct, in care cele doua cercuri amintite chiar trebuie sa fie tangente... Fie X acest punct ipotetic. Daca acesta e cazul, atunci unghiul BXC si unghiul AXD trebuie sa fie drepte (subintind un semicerc.)
Pai atunci AX si XC sunt "in continuare" (formeaza un unghi cat doua unghiuri drepte..). Din motive de simetrie vedem deja ca cele doua triunghiuri dreptunghice BXC si AXD trebuie sa fie isoscele.

Uitam de speculatia psihologica despre X si putem continua cu rigoare.

Fie Y punctul de intersectie a diagonalelor.
(Din cele de mai sus ne intereseaza foarte unghiul dintre diagonale, deci la un pas de el unghiul BDA. Cand este el un unghi de 45 de grade?)

Inaltimea din B este a/2*sqt(3). Piciorul ei imparte baza in a/2 si a/2+b = a(1/2+x).
Tangenta (masurii) unghiului BDA este deci raportul...

Cat trebuie sa fie x, pantru ca acest raport sa fie 1 ?

(Da, trebuie sa fie ca in problema...)



Nota:
La ora asta si mie mi se pare ca anumite patru cercuri trase de mana mea nu trec prin acelasi punct...

inaltimile triunghiurilor dreptunghice isoscele BXC si DXA le calculam cu ipotenuza/2(ipotenuzele tr=bazele trapezului) si suma acestor doua inaltimi ar trebui sa fie inaltimea trapezului(=inaltimea tr echilateral amintit mai sus),pentru ca cele doua cercuri sa fie tangente.dar aceasta egalitate este imposibila (sqrt3)/2=1!)de aceea mi se pare mie ca cercurile nu pot fi tangente sau fara a considera cele doua tr dr isoscele adunand cele doua raze trebuie sa obtinem inaltimea trapezului pentru ca cercurile sa fie tangente

Daca X este punctul de intersectie dintre cercurile de cerute, atunci unghiurile AXB, AXD, DXC si BxC sunt drepte, deci AXC si BXD sunt alungite, asadar X este intersectia diagonalelor. Ducand CE paralela cu AC, E pe AD, ar trebui ca trACE sa fie dreptunghic in C. Calculand CE din trCED (cu D=120, dem de cineva!) si aplicand Pitagora in trACE, folosind relatiile date, vom obtine ca c*c=ab sau, mai departe a*a+b*b+ab=0, imposibil!
Deci, s-ar parea (daca nu am gresit la calcule!!!) ca aceste cercuri nu si-au dat intalnire!
Numai bune,

si-au dat intalnire la concursul de titularizare,

[Citat] Daca X este punctul de intersectie dintre cercurile de cerute, atunci unghiurile AXB, AXD, DXC si BxC sunt drepte, deci AXC si BXD sunt alungite, asadar X este intersectia diagonalelor. Ducand CE paralela cu AC, E pe AD, ar trebui ca trACE sa fie dreptunghic in C. Calculand CE din trCED (cu D=120, dem de cineva!) si aplicand Pitagora in trACE, folosind relatiile date, vom obtine ca c*c=ab sau, mai departe a*a+b*b+ab=0, imposibil! Deci, s-ar parea (daca nu am gresit la calcule!!!) ca aceste cercuri nu si-au dat intalnire! Numai bune,

In cele de mai sus am gresit niste calcule! Relatia data de teorema lui Pitagora se reduce la a*a-2ab-2b*b=0, ceea ce este adevarat din relatiile din enunt: bc=a*a/2 si c=a+b, inlocuindu-l pe c in prima. Am uitat un b in calcule! Asta e!
Pot fi gasite si alte solutii, chiar cu unghiul de 45, ducand inaltimile (uzuale) si punand conditia ca o inaltime sa fie egala cu proiectia diagonalei pe baza mare (tr 45-90-45)
Deci e bine si
Numai bine,

[Citat] Daca X este punctul de intersectie dintre cercurile de cerute, atunci unghiurile AXB, AXD, DXC si BxC sunt drepte, deci AXC si BXD sunt alungite, asadar X este intersectia diagonalelor. Ducand CE paralela cu AC, E pe AD, ar trebui ca trACE sa fie dreptunghic in C. Calculand CE din trCED (cu D=120, dem de cineva!) si aplicand Pitagora in trACE, folosind relatiile date, vom obtine ca c*c=ab sau, mai departe a*a+b*b+ab=0, imposibil! Deci, s-ar parea (daca nu am gresit la calcule!!!) ca aceste cercuri nu si-au dat intalnire! Numai bune,

nu inteleg cum ducem CE paralela cu AC si D=120(cum AD=c>b=BC rezulta AD baza mare
rezulta D unghi ascutit) sau va referiti la unghiul exterior?

1. CE||BD (cred ca se putea subintelege fiind o strategie cunoscuta!)
2. Unghiul ADC are masura 60 (s-a aratat asta). Deci unghiul CDE are masura 120. Calculam CE cu Teorema cosinusului in trDCE.
3. Scuze pentru erorile trecute si/sau viitoare.
Numai bine,

triunghiul isoscel ACE nu este dreptunghic in C (baza este 2a si inaltimea (asqrt3)/2) deci in X nu avem unghiuri drepte X=intersectia diagonalelor

[Citat] triunghiul isoscel ACE nu este dreptunghic in C (baza este 2a si inaltimea (asqrt3)/2) deci in X nu avem unghiuri drepte X=intersectia diagonalelor

Baza AE=AD+DE=c+b=a+b+b=a+2b si nu 2a asa cum spui. Ceea ce am precizat mai sus ramane valabil: Unghiul C este drept conform reciprocei TP si acest lucru este dat de relatiile din enunt.
Numai bine,