[Citat] In foaia pe care o am cu subiectele de la Giurgiu nu se vede daca sau daca ; ma gandeam ca trebuie demonstrat pe caz general, nu sa gasesc un caz particular. Si, din moment ce g(0)=0, nu inseamna ca 0 este radacina intreaga?

Problema e clasic?. Condi?ia este

Scuze,Gauss, de fapt mi-ai dat un contraexemplu si eu nu am fost atenta.
Intradevar, Enescu, numai asa ar putea fi corecta problema, dar tot nu stiu sa o demonstrez.

Pp. prin absurd ca

are o radacina intrega

.Atunci exista un polinom h(x) astfel incat :

.Rezulta

si

sunt numere impare,ceea ce imposibil deoarece

si

sunt numere consecutive.
L.E. : am corectat.

Am inteles.
Cu modificarea (3-a)h(3), respectiv (4-a)h(4).
Multumesc.

2. Fie

(a) Determinati asimptota spre

la graficul functiei.
(b) Stabiliti intervalele de monotonie ale functiei.
(c) Stabiliti intervalele de convexitate si concavitate ale functiei.
(d) Demonstrati inegalitatea

(e) Calculati partea intreaga a volumului corpului obtinut prin rotirea in jurul axei Ox a subgraficului functiei

.


(a) Deoarece numitorul, arctg(x) tinde la pi/2 pentru x tinzand spre infinit, este clar ca panta asimptotei este 2/pi. Avem de calculat deci

Ca sa ma impac cu ce am obtinut ma verific cu computerul:
sage: ?limit
sage: lim( x/arctan(x) - x/(pi/2) , x=infinity )
4/pi^2

Bun, e clar cam care este asimptota. Un plot (greist) l-am steres de aici si redat mai jos (corectat)...

(b) Monotonia:
Functia data este simetrica, schimband in definitie x cu minus x nu se schimba nimic... Ajunge sa ne legam de semiaxa pozitiva. Din graficul de mai sus e clar ce e de aratat. Derivata functiei si cateva lucruri care poate ne mai intereseaza...

sage: f(x) = x / arctan(x)
sage: diff( f, x )
x |--> 1/arctan(x) - x/((x^2 + 1)*arctan(x)^2)

sage: g(x) = diff( f, x )(x) * arctan(x)^2

sage: g(x) . factor()
(x^2*arctan(x) + arctan(x) - x)/(x^2 + 1)

sage: diff( g, x )(x) . factor()
2*x^2/(x^2 + 1)^2

Sper ca e clar ce s-a facut. In studiul semnului derivatei am inmultit cu ceva pozitiv, obtin o functie g, al carei semn trebuie sa-l inteleg. Derivez si factorizez. Deoarece g '(x)>0 pentru x>0, rezulta ca g este strict crescatoare. Deci g(x) > g(0) = 0 pentru x>0.

Deci derivata lui f este >0 pe semiaxa reala pozitiva, deci f este crescatoare.

(c) Cam acelasi lucru trebuie sa-l fac si cu a doua derivata..

sage: diff( f, x, x )
x |--> -2/((x^2 + 1)*arctan(x)^2) + 2*x^2/((x^2 + 1)^2*arctan(x)^2) + 2*x/((x^2 + 1)^2*arctan(x)^3)
sage:
sage: h(x) = diff( f, x, x )(x) * arctan(x)^3 * (x^2+1)^2
sage:
sage: h(x) . factor()
-2*(arctan(x) - x)
sage:
sage: diff( h, x ) . factor()
x |--> 2*x^2/(x^2 + 1)

Deci derivata lui h este >0 pe IR.
Pentru x care tinde la 0, h tinde la 0.
Deci h este (strict) pozitiva pe semiaxa pozitiva si (strict) negativa pe semiaxa negativa.

Deoarece de la derivata a doua a lui f pana la h am inmultit cu o putere impara a lui arctan(x), rezulta ca f este convexa pe domeniul de definitie.

(d) Avem

asa ca aplicand proprietatea (definitia) cunoscuta a convexitatii care compara pentru doua ponderi a,b complementare (adica cu a+b=1) valorile

f(ax+by) si af(x)+bf(y)

afacerea se termina repede.

(e) Ce vor oamenii astia de la noi?
Vor sa le calculam aproximativ

dar se exprima pe ocolite. Un calcul aproximativ cu calculatorul (cod GP/PARI) este:


? \p 40
realprecision = 48 significant digits (40 digits displayed)

? Pi * intnum( x = 1./sqrt(3.), 1., x / atan(x) )
%5 = 1.571199388531484836949100598234991486675

? intnum( x = 1./sqrt(3.), 1., x / atan(x) )
%6 = 0.5001282985354984365979281112297907826986
?
? f(x) = x / atan(x)
? f( 1./sqrt(3.) )
%7 = 1.102657790843584099022652996625938882795
?
? f( 1. )
%8 = 1.273239544735162686151070106980114896276
?
? 1. - 1./sqrt(3.)
%9 = 0.4226497308103742354908512194980425443524

Desigur ca acum putem sa incepem propozitii de forma:
Avem evident:

Am folosit faptul ca f este crescatoare si l-am incadrat pe radical din trei intre 3/2=1.5 si 2.

Gauss, multumesc ca ai revenit la pb. asta de analiza,pentru ca ramasesem cu ea pe suflet, dar nu am mai insistat de teama ca o fi prea simpla si ma fac de ras. O sa studiez rezolvarea, si daca nu inteleg ceva, revin cu intrebari.

Generalizare la problema cu radacinile intregi...


Fie N numar natural > 1 .
Daca

are proprietatea ca g(a) nu este congruent cu zero modulo N pentru a plimbandu-se intr-un sistem complet de reprezentanti modulo N.

Atunci g nu are radacini intregi.

Desigur, demonstratia scurta este data de trecerea de la inelul de polinoame peste ZZ la cel peste ZZ modulo N. (Daca am avea o radacina peste ZZ pentru primul polinom, atunci am avea radacina indusa modulo N peste ZZ modulo N.)

Problema data la Giurgiu avea de-a face cu N=2 si cu sistemul {3,4} de reprezentanti modulo 2.

Pe pagina asta am dat des de multi amatori de ghicitori, care vazand asa ceva sunt tentati sa propuna imediat:

Daca g este un polinom cu coeficienti intregi cu
g(2000) = 13, g(2005) = 17, g(1020) = 19
sa se arate ca g nu are radacini intregi...

Este desigur aceeasi problema intr-o deghizare care este chestie de gust. Dar ghicitorile sunt de multe ori un mod bun de a ne tine cu mintea treaza, deseori nu pot sa-mi ascund zambetul...

De la o vreme, metodele de rezolvare incep sa ia un loc in prim plan, lucru care este mai ales din punct de vedere didactic si de recunoastere a structurii important. Multe probleme de aceasta "culoare" se bazeaza pe trecerea de la ZZ la modulo N pentru un N "cheie" pentru problema... A nu se subestima deci:

este morfism de inele. (Folosesc notatia internationala ZZ / N pentru inelul de intregi modulo N.) Deci daca o proprietate *algebrica* are loc peste ZZ, proprietatea mutata prin acest morfism pe ZZ / N are atunci loc pe ZZ / N . Acest lucru ne ajuta des sa aratam ca ceva nu este posibil pe ZZ, avand de analizat cateva nazuri pe multimea finita ZZ / N .

[Citat] Gauss, multumesc ca ai revenit la pb. asta de analiza,pentru ca ramasesem cu ea pe suflet, dar nu am mai insistat de teama ca o fi prea simpla si ma fac de ras. O sa studiez rezolvarea, si daca nu inteleg ceva, revin cu intrebari.

Iar eu multumesc pentru postare, culegerea de probleme este la fel de importanta. Lucram mana in mana pentru un popor "asuprit".
Daca ai dubii minime, foloseste-te imediat de cateva randuri de pe forum.
Nu exista intrebari prea simple. Speranta mea este de a depasi o masa critica si de a avea astfel pe lunga durata un ciclu in care cei ce au invatat ceva posteaza pentru cei ce pun aceeasi intrebare pentru a doua oara, astfel ca in cativa ani elevii sa aibe un loc de a *primi* raspunsuri intotdeauna *exacte* . In acest mod, revolutia invatamantului se va face ca orice revolutie: de "jos" .

Am tiparit cod din pacate cam des, imi economiseste doar timp de redactare si de calcul. Practic scriu din prima rezultatul unui calcul anevoios. Daca aici sunt probleme, intrebarile sunt cu atat mai mult binevenite.

[Citat] Pe pagina asta am dat des de multi amatori de ghicitori, care vazand asa ceva sunt tentati sa propuna imediat: Daca g este un polinom cu coeficienti intregi cu g(2000) = 13, g(2005) = 17, g(1020) = 19 sa se arate ca g nu are radacini intregi... Este desigur aceeasi problema intr-o deghizare care este chestie de gust. Dar ghicitorile sunt de multe ori un mod bun de a ne tine cu mintea treaza, deseori nu pot sa-mi ascund zambetul...

Nu exist? un astfel de polinom. Ar trebui ca 19-17 s? divid? 1020-2005, ceea ce nu se întâmpl?.

Ploturile initiale le-am sters (gresisem...)
Nu am putut modifica la locul cu pricina. (Probleme de compilare. Lucruri deja compilate par a refuza stergerea lor. De asemenea, gnuplot mi-a dat o linie prea lunga...)

Sper sa mearga acest plot:
gnuplot> plot [x=0:4] x / atan(x) , 2/pi * (x+2/pi)
plot [x=0:4] x / atan(x) , 2/pi * (x+2/pi)
gnuplot> set terminal latex
gnuplot> set grid