1.Fie a,b,b numere reale strict pozitive astfel incat

.Aratati ca:

2.Fie a,b,c numere reale strict pozitive astfel incat

.Aratati ca:

3.a)Sa se arate ca orice numar real se poate scrie ca produs de doua numere irationale diferite si ca un produs de trei numere irationale diferite;b)Sa se arate ca orice numar real se poate scrie ca suma de 2008 numere irationale diferite;
4.Fie un paralelipiped dreptunghic ABCDA'B'C'D' si punctele

pentru care drumul AMNPA' este minim.Demonstrati ca :a)bisectoarele unghiurilor AMN si NPA' sunt paralele;b)bisectoarele unghiurilor AMN si MNP sunt perpendiculare.
5.Aflati numerele naturale care pot fi scrise ca produs de doua numere naturale care au diferenta 8 si care pot fi scrise ca produs de doua numere naturale care au diferenta 11.
6.Se da

, A nu apartine planului

,

, unde O este centrul cercului circumscris

.Demonstrati ca

este isoscel daca si numai daca

este isoscel.
7.Fie

echilateral si punctele O,Q in planul sau , O interior triunghiului,Q exterior triunghiului dat,astfel incat OA=6 cm,

cm,

cm si

.
a)Aratati ca A,O,Q sunt coliniare;
b)Sa se calculeze aria

c)Fie P un punct nesituat in planul ABC astfel incat PB=PC=PO=9 cm.Sa se calculeze distanta de la P la planul ABC.
d)Sa se calculeze masura unghiului format de dreptele PX si QC , unde

Va rog sa-mi dati o idee de rezolvare a acestor probleme.

Am rezolvat problema 7:
a)

echilateral

dreptunghic in B

coliniare
b)

dreptunghic in O

c)Fie

este centrul cercului circumscris triunghiului BOC

S este mijlocul segmentului BC

d)Deoarece

Va rog sa-mi semnalati eventualele erori in redactarea rezolvarii acestei probleme.

La problema 5 am gasit prin incercari numarul

[Citat] La problema 5 am gasit prin incercari numarul

Problema revine la a gasi numerele naturale x cu proprietatea ca exista

astfel ca

.
Astfel este suficient sa rezolvam in numere naturale ecuatia

, care se poate aranja sub forma

Din forma initiala a ecuatiei se observa ca n>m. Discutand cazurile in forma finala, deducem ca n-m=1 si apoi ca n=10, m=9, deci x=180

[Citat] 3.a)Sa se arate ca orice numar real se poate scrie ca produs de doua numere irationale diferite si ca un produs de trei numere irationale diferite; b)Sa se arate ca orice numar real se poate scrie ca suma de 2008 numere rationale diferite;

a) Daca numarul x este rational, atunci

si

Daca numarul x este irational atunci

si

Pentru a scrie un numar dat ca produs de trei numere (sau ca produs de 2009 numere) irationale, il scriem mai intai ca produs de doua si apoi pe unul din factori il scriem iar ca produs de doua numere irationale.

b) Enuntul este evident fals, deci trebuie corectat.

La ce concurs(uri) s-au dat aceste probleme?

[Citat] 6.Se da , A nu apartine planului , , unde O este centrul cercului circumscris .Demonstrati ca este isoscel daca si numai daca este isoscel.

Punctul M se afla in planul

?

[Citat] b) Enuntul este evident fals, deci trebuie corectat. La ce concurs(uri) s-au dat aceste probleme?

Eu am primit pe e-mail aceste subiecte in format doc si se pare ca in redactarea lor sunt multe erori.Subiectul este acesta.Imi cer scuze pentru crearea unor anumite neplaceri si va multumesc pentru raspunsuri.
Problema 6 a fost propusa la concursul de aici.

3)b)Daca

atunci

Daca

atunci

Este corecta o astfel de abordare?

[Citat] 2.Fie a,b,c numere reale strict pozitive astfel incat .Aratati ca:

[Citat] 3)b)Daca atunci Daca atunci Este corecta o astfel de abordare?

Da! Abordarea este corecta, dar demonstratia faptului ca in cazul rational fiecare din acei termeni este irational va lua ceva timp.

Alternativa:

Mai intai il scriem pe x sub forma

. Aceasta scriere este drept are toate elementele egale. Nu ne ramane decat sa le facem diferite si irationale.

Daca x este rational, vom scrie

Daca x este irational, vom scrie

[Citat] [Citat] 3.a)Sa se arate ca orice numar real se poate scrie ca produs de doua numere irationale diferite si ca un produs de trei numere irationale diferite; a) Daca numarul x este rational, atunci si Daca numarul x este irational atunci si Pentru a scrie un numar dat ca produs de trei numere (sau ca produs de 2009 numere) irationale, il scriem mai intai ca produs de doua si apoi pe unul din factori il scriem iar ca produs de doua numere irationale.

Omisesem cerinta ca factorii de fie diferiti. In cazul x rational, factorii sunt diferiti iar in cazul x irational ii putem face diferiti, de exemplu luand

.

Pentru cazul produsului de 3 factori se procedeaza in acelasi mod.