are cineva rezolvarea exercitiului : sa se arate ca nu exista numere naturale nenule solutii ale ecuatiei x patrat +y patrat +z patrat=2*x*y*z?

[Citat] are cineva rezolvarea exercitiului : sa se arate ca nu exista numere naturale nenule solutii ale ecuatiei x patrat +y patrat +z patrat=2*x*y*z?

Problema aceasta este o reformulare a problemei discutate la
http://www.pro-didactica.ro/forum/index.php?forumID=12&ID=7985

Presupunem ca exista o solutie "netriviala" a ecuatiei in numere intregi x,y,z

Atunci are sens sa vorbim de cel mai mare divizor comun al lui x,y,z.
Il notam cu d.
Impartim cu acest numar, obtinem (pentru "alti" x,y,z) o solutie a ecuatiei

in care insa, stim in plus ca x,y,z sunt prime intre ele, i.e. nu au nici un divizor comun.

Consideram acum aceasta ecuatie modulo 4 (deci in inelul ZZ / 4 ZZ). Ea are o solutie netriviala, deoarece ea are in numerele intregi ZZ o solutie de numere prime intre ele.

Fie punem computerul la lucru, fie incercam cu mana, ajungem repede la contradictie aici:

Cel putin unul dintre numere este impar, fie el x.
(Altfel 2 este divizor comun.)
Modulo 4, patratele sunt fie 1 fie 0.

Ecuatia de sus ne da o ecuatie "de clasa Ia" (cu casute) modulo 4:

Cum cu 1+?+?? nu mai ajungem la 1+1+1+1=4, folosind doar ?, ?? intre 0 si 1,
ar mai fi o sansa sa ajungem la 2... Dar atunci unul din numerele ? , ?? este par, deci 2d xyz este 0 modulo 4.

Contradictie.

[Citat] Presupunem ca exista o solutie "netriviala" a ecuatiei in numere intregi x,y,z Atunci are sens sa vorbim de cel mai mare divizor comun al lui x,y,z. Il notam cu d. Impartim cu acest numar, obtinem (pentru "alti" x,y,z) o solutie a ecuatiei in care insa, stim in plus ca x,y,z sunt prime intre ele, i.e. nu au nici un divizor comun. Consideram acum aceasta ecuatie modulo 4 (deci in inelul ZZ / 4 ZZ). Ea are o solutie netriviala, deoarece ea are in numerele intregi ZZ o solutie de numere prime intre ele. Fie punem computerul la lucru, fie incercam cu mana, ajungem repede la contradictie aici: Cel putin unul dintre numere este impar, fie el x. (Altfel 2 este divizor comun.) Modulo 4, patratele sunt fie 1 fie 0. Ecuatia de sus ne da o ecuatie "de clasa Ia" (cu casute) modulo 4: Cum cu 1+?+?? nu mai ajungem la 1+1+1+1=4, folosind doar ?, ?? intre 0 si 1, ar mai fi o sansa sa ajungem la 2... Dar atunci unul din numerele ? , ?? este par, deci 2d xyz este 0 modulo 4. Contradictie.

Nu am inteles de cand ati spus ca patratele modulo 4 sunt fie 0 fie 1. Dar

modulo 4=3 nu merge?

[Citat] [Citat] Presupunem ca exista o solutie "netriviala" a ecuatiei in numere intregi x,y,z Atunci are sens sa vorbim de cel mai mare divizor comun al lui x,y,z. Il notam cu d. Impartim cu acest numar, obtinem (pentru "alti" x,y,z) o solutie a ecuatiei in care insa, stim in plus ca x,y,z sunt prime intre ele, i.e. nu au nici un divizor comun. Consideram acum aceasta ecuatie modulo 4 (deci in inelul ZZ / 4 ZZ). Ea are o solutie netriviala, deoarece ea are in numerele intregi ZZ o solutie de numere prime intre ele. Fie punem computerul la lucru, fie incercam cu mana, ajungem repede la contradictie aici: Cel putin unul dintre numere este impar, fie el x. (Altfel 2 este divizor comun.) Modulo 4, patratele sunt fie 1 fie 0. Ecuatia de sus ne da o ecuatie "de clasa Ia" (cu casute) modulo 4: Cum cu 1+?+?? nu mai ajungem la 1+1+1+1=4, folosind doar ?, ?? intre 0 si 1, ar mai fi o sansa sa ajungem la 2... Dar atunci unul din numerele ? , ?? este par, deci 2d xyz este 0 modulo 4. Contradictie. Nu am inteles de cand ati spus ca patratele modulo 4 sunt fie 0 fie 1. Dar modulo 4=3 nu merge?

Gata...am inteles pana la urma.