1.

2.(n!+1,(n+1)!+1)=1
3.Fie a,b naturale a.i.

. Demonstrati ca

este patrat perfect.
4. a) Demonstrati ca 5 este singurul prim care apartine la doua perechi de prime consecutive. (3,5 ; 5,7)
b) Demonstrati ca exista o corespondenta bijectiva intre multimea nr prime consecutive si numerele n pentru care

are exact 4 divizori naturali.
5. Daca n/2 e patrat perfect, n/3 cub si n/5 o putere a 5a, cat e n?

Sunt suficiente indicatii sumare, daca exercitiul este usor

Multumesc.

[Citat] 1.

Cel mai mic divizor comun trebuie sa divida si pe

[Citat] 2.(n!+1,(n+1)!+1)=1

Algoritmul lui Euclid! (asta in caz ca nu iese direct)

[Citat] 3.Fie a,b naturale a.i. . Demonstrati ca este patrat perfect.

problema s-a dat la o olimpiada internationala. Poti s-o gandesti cam asa: daca a=b atunci acel numar este zero sau unu. In caz contrar presupunem a<b. Scriem teorema impartirii cu rest

Daca

se arata ca

de unde in mod necesar

ceea ce in final este imposibil. Prin urmare r=0. In acest caz se arata ca

de unde

iar de aici rezulta

, q.e.d.

Probabil se poate face si mai direct.

[Citat] 4. a) Demonstrati ca 5 este singurul prim care apartine la doua perechi de prime consecutive. (3,5 ; 5,7) b) Demonstrati ca exista o corespondenta bijectiva intre multimea nr prime consecutive si numerele n pentru care are exact 4 divizori naturali.

Pai... a) este simplu (divizibilitatea cu 3) iar la b) deja ai patru divizori:

Musai

trebuie sa fie prime.

[Citat] 5. Daca n/2 e patrat perfect, n/3 cub si n/5 o putere a 5a, cat e n?

Scrie pe n sub forma

unde A nu este divizibil cu 2,3,5

Apropo de 3, din cartea lui Engel:
[url]http://books.google.com/books?id=wj3_FxnRz5kC&lpg=PP1&dq=Engel%20Arthur&pg=PA127

La problema 5 nu se cere

minim?
Exista o infinitate de astfel de numere...
Numarul este de forma

,unde

este prim cu

.
avem conditia ca

impari.
De asemenea

si daca iau

am

.
De asemenea

si daca iau

am

.
Apoi

si daca iau

am

.
Luand

,obtin cel mai mic numar natural care indeplineste conditiile:

Cam asta ar fi!

sa lamurim ceva:ce inseamna numere prime consecutive?
Dar

si

?

La problema 2 eu zic asa:
Fie

un divizor comun al numerelor

si

.
Avem

si

.
Deci

adica

.
Rezulta prin diferenta

,deci

si cum

avem

deci

adica cerinta!

Multumesc foarte mult pentru rezolvari.

Pentru domnul P.Batranetu: numere prime consecutive se refera (cel putin in aceasta problema) la numere prime la diferenta de 2. 13 si 17 nu sunt, 17 si 19, da.