Cum arat ca sirul de mai jos este strict crescator?(Eu am incercat folosind definitia, dar nu mi-a iesit).

Acesta este sirul lui Traian Lalescu si pentru n tinzand la infinit limita este 1/e unde e=2,71828.... adica sirul este marginit si deoarece pentru n=1 primul termen al sirului este a_1=sqrt(2)-1>1/e atunci sirul este strict descrescator mai ales ca lim[(a_n+1)/(a_n)]=(1/e)/(1/e)=1.Nu inteleg cum de se cere sa se arate ca sirul este strict crescator???!!!???

Termenii sirului incep de la n=2,pentru ca daca ar incepe de la 1 nu ar avea sens radicalul de ordinul n=1(nu s-a definit radicalul de ordinul 1 dintr-un numar pozitiv).Pe de alta parte,faptul ca sirul este marginit ca o consecinta directa a faptului ca sirul este convergent nu ne prea ajuta cu nimic.Deci, cred ca ne ramane sa aratam ca sirul este majorat de 1/e si din faptul ca sirul converge la 1/e sa rezulte faptul ca sirul este strict crescator;sau sa se arate ca sirul este strict crescator, folosind evident definitia sirurilor strict crescatoare(dar aici cred ca este mai greu,dar daca folosim anumite inegalitati poate reusim).

Faptul ca sirul este crescator sau nu n-are mare importanta. Ati vazut undeva in mod explicit ca se cere acest lucru ?

Problema mi-a fost data de catre un coleg ,care mi-a spus ca a luat-o din testele unui profesor.Personal nu am vazut undeva ca se cere in mod explicit acest lucru.

[Citat] Termenii sirului incep de la n=2,pentru ca daca ar incepe de la 1 nu ar avea sens radicalul de ordinul n=1(nu s-a definit radicalul de ordinul 1 dintr-un numar pozitiv).Pe de alta parte,faptul ca sirul este marginit ca o consecinta directa a faptului ca sirul este convergent nu ne prea ajuta cu nimic.Deci, cred ca ne ramane sa aratam ca sirul este majorat de 1/e si din faptul ca sirul converge la 1/e sa rezulte faptul ca sirul este strict crescator;sau sa se arate ca sirul este strict crescator, folosind evident definitia sirurilor strict crescatoare(dar aici cred ca este mai greu,dar daca folosim anumite inegalitati poate reusim).

Ce inseamna de fapt 1^(1/n) pentru n=1?Chiar si pentru n=2 a_2>1/e.Acest sir este un sir Traian Lalescu a carui limita este 1/e si deci acest sir al lui Traian Lalescu este descrescator pentru motvele amintite in prima mea postare si postarea actuala.Nu inteleg ce mai trebuie demonstrat ceea ce este deja demonstrat iar limita acestui sir se gaseste relativ usor ca fiind 1/e.Deasemeni se demonstreaza usor ca toti termenii sirului sunt pozitivi si deci nu exista niciun dubiu ca sirul este strict descrescator.
In problema se cere ca sa se demonstreze monotonia sirului neaparat cu definitia sirurilor monotone crescatoare sau descrescatoare?

[Citat] Problema mi-a fost data de catre un coleg ,care mi-a spus ca a luat-o din testele unui profesor.Personal nu am vazut undeva ca se cere in mod explicit acest lucru.

Si deci care este de fapt problema?Oricum acest sir al lui Traian Lalescu este strict descrescator.Se poate demonstra si prin inductie matematica ca acest sir al lui Traian Lalescu este strict descrescator.

1)Daca sirul ar fi fost scris sub forma

,atunci termenii sirului ar fi pornita de la n=1.
2)In problema se cere sa se arate ca sirul este strict crescator.
3)Daca folosesc urmatoarea inegalitate:
lnt<2(t-1)/(t+1),pentru 0<t<1 si tin cont de faptul ca sirul este subunitar(adica situat intre 0 si 1) pentru n>=2 demonstrez ca sirul este
<1/e,cum limita lui este 1/e rezulta sirul lui T.L strict crescator.
Inegalitatea pe care am precizat-o am gasit-o intamplator intr-o carte de analiza(Al.Lupasc G.M.B 1973)

Monotonia sirului lui Traian Lalescu ne ajuta la calcularea limitei sirului:

.

Sirul definit in primul post de mai sus nu este crescator, dupa cum a semnalat TAMREF. Puteti verifica acest lucru cu un calculator.

Intr-adevar,sirul este descrescator,probabil ca colegul meu a fost informat gresit, ori a gresit el cand l-a preluat.Daca calculasem primii termeni imi dadeam seama imediat de acest lucru.Oricum multumesc pentru raspuns si lamurire.Chiar m-ar onora sa vad prin inductie cum s-ar demonstra monotonia lui.