Segmentele AB si CD sunt situate pe drepte necoplanare, M-mij lui AB, N apartine lui CD a.i. CN=3ND. X apartine lui CM a.i. 3MX=XC, Y apartine lui AN a.i. AN=2AY si Z apartine lui MD a.i. MZ=3ZD.
Aratati ca mijlocul segm BN apartine planului (XYZ).

[Citat] Segmentele AB si CD sunt situate pe drepte necoplanare, M-mij lui AB, N apartine lui CD a.i. CN=3ND. X apartine lui CM a.i. 3MX=XC, Y apartine lui AN a.i. AN=2AY si Z apartine lui MD a.i. MZ=3ZD. Aratati ca mijlocul segm BN apartine planului (XYZ).

Aceasta problema devine triviala daca este tratata vectorial.

Pt. clasa a VIII-a, am uitat sa specific.

Are cineva o idee cum sa o rezolv, la nivel de gimnaziu? Fara geometrie vectoriala.

Fie

mijlocul lui

. Folosind Menelaus, de exemplu, in triunghiul

, segmentele

se intersecteaza la mijlocul lui

. Pe de alta parte, in triunghiul

,

e linie mijlocie, deci segmentele

se intersecteaza tot in mijlocul lui

. Prin urmare, segmentele

au un punct comun, asadar punctele

sunt coplanare.