As avea nevoie de indicatii pentru a demonstra doua inegalitati:

1. radical [x/(x+3y)]+[y/(y+3x)]>=1, pentru x,y>=0 cu x+y>0

2. 1/(x+x^3)+1/(y+y^3)+1/(z+z^3)>=3/2, pentru x,y,z>0 si x+y+z=3

Multumesc

Va este greu sa scrieti in LaTeX?

Observam ca:

Aplicam Titu Andreescu Pt aceasta inegalitate,se obtine:

Prima inegalitate nu se intelege clar,Totul este sub radical:>?

Mai incerc:

Daca nici acum nu este bine, ...

Natasa

Prima inegalitate este scrisa corect de Natasa. Din neatentie am uitat sa pun radical la al doilea termen.
Multumesc

[Citat] Natasa

Se studiaza functia

Se ajunge la concluzia ca valoarea minima este

De asemenea, as mai mentiona ca inegalitatea 'Titu Andreescu' nu exista; acea inegalitate este 'Cauchy-Buniakowski-Schwartz'.

[Citat] [Citat] Natasa Se studiaza functia Se ajunge la concluzia ca valoarea minima este De asemenea, as mai mentiona ca inegalitatea 'Titu Andreescu' nu exista; acea inegalitate este 'Cauchy-Buniakowski-Schwartz'.

Multumesc pt raspunsuri,dar se poate o solutie de gimnaziu pt inegalitatea cu radicali?

O sa notez, ca sa usurez sceierea> x + 3y = a si y + 3x = b

rad x/a + rad y/b >=1

Ridic ambii membrii ai egalitatii la puterea a doua =>

x/a + y/b + 2rad(xy)/(ab) >= 1 < = > x/a + y/b - 1 >= - 2rad[(xy)/(ab)]

< = > ... < = > bx + ay - ab >= -2rad(xyab) (*)

In partea stanga a inegalitatii (*):

bx + ay - ab, dupa inlocuirea lui a si b se obtine: -8xy

In partea dreapta la inegalitatii, la fel, inlocuim a si b si obtinem:
-2rad[xy(3x^2 + 3y^2 + 10xy)]

Deci:

-8xy >= -2rad[xy(3x^2 + 3y^2 + 10xy)] = > 4xy <= rad[xy(3x^2 + 3y^2 + 10xy)

< = > xy(3x^2 + 3y^2 + 10xy) >= 16 x^2 y^2 < = >

3x^2 + 3y^2 +10xy - 16xy >= 0 < = > 3x^2 + 3y^2 - 6xy >=0

< = > 3 . (x^2+ y^2 - 2xy) >= 0 < = > 3 .(x - y)^2 >= 0 (A) ...

Atat! Sper sa fie bine!

Nu ma prea descurc cu latex-ul, cred ca din cauza ca sunt prea obosita!
Natasa

Multumesc Natasa, eu ma gandeam ca se aplica ceva inegalitate, nu credeam sa iasa din calcule. Multumesc mult pt. rezolvare. Multumiri si Danei pt ca mi-a spus de acest site.