1.Conditia limitelor laterale egale este suficienta pentru ca f sa fie continua in a, sau

este necesara?

2.Am gasit intr-o carte, propozitia: O functie este continua si in punctele sale izolate.
Apoi am mai gasit detalii despre prelungirea prin continuitate.
Este vreo legatura dintre prelungirea prin continuitate si propozitia de mai sus?
La prelungirea prin continuitate avem:

Daca limita lui f, cand x tinde la a exista, atunci g este continua in a.
Dar nu se indeplinesc nici una din propozitiile de la 1 (cu limitele laterale).

Nu inteleg care-i problema cu LaTeX, in prima ecuatie.

[Citat] 1.Conditia limitelor laterale egale este suficienta pentru ca f sa fie continua in a, sau este necesara?

Avem urmatoarele caracterizari:

- O functie are limita in punctul a, daca si numai daca limitele laterale in x=a sunt egale.

- O functie este continua intr-un punct daca are limita in acel punct, iar limita este egala cu valoarea functiei in acel punct.

Pe baza lor, daca o functie are limite laterale egale intr-un punct, functia are DOAR limita in acel punct si poate fi discontinua. Este nevoie si de egalitatea limitei cu valoarea in punct pentru a fi continua. Ca exemplu, luati functia

si trasati-i graficul. Veti vedea ca in x=0 functia are limie laterale egale,
dar nu poate fi continua avand o gaura.

[Citat] 2.Am gasit intr-o carte, propozitia: O functie este continua si in punctele sale izolate.

Depinde ce topologie era considerata in acea carte. Pentru cea obisnuita a numerelor reale (adica cea invata in clasa XI-a), afirmatia nu este adevarata.
O functie poate fi continua doar in puncte din domeniul de definitie care sunt puncte de acumulare.

Intre timp am luat mai multe carti de analiza de clasa XI-a. Conform modului in care se introduce continuitatea in majoritatea lor, propozitia este adevarata. Pe de alta parte trebuie mentionat ca propozitia trebuie intelease si sub forma:

"Punctele izolate sunt neintereante din punctul de vedere al continuitatii"

Intr-adevar continuitatea unei functii f intr-un punct x=a trebuie inteleasa sub forma: variatii mici ale lui x in jurul lui x=a, genereaza variatii mici ale lui f(x) in jurul lui f(a). Or in jurul unui punct izolat, x nu poate varia prea mult (poate lua doar valoarea x=a), deci nu putem avea variatii ale lui f(x).

Ca fapt divers, despre ce carte este vorba?

[Citat] Apoi am mai gasit detalii despre prelungirea prin continuitate. Este vreo legatura dintre prelungirea prin continuitate si propozitia de mai sus? La prelungirea prin continuitate avem: Daca limita lui f, cand x tinde la a exista, atunci g este continua in a. Dar nu se indeplinesc nici una din propozitiile de la 1 (cu limitele laterale). Nu inteleg care-i problema cu LaTeX, in prima ecuatie.

Pentru a vorbi despre prelungire prin continuitate in x=a, trebuie ca x=a sa fie punct de acumulare al domeniului de definitie, deci nu putem vorbi despre puncte izolate.

[Citat] Ca fapt divers, despre ce carte este vorba?

Siretchi si, de asemenea, manualul de analiza de a 11-a de Gussi si Stanasila.

[Citat] Ca fapt divers, despre ce carte este vorba?

Probleme de matematici superioare de Stan Chirita. Avea si teorie, sumar.
Dupa definitia limitei, dadea propozitia de mai sus, nu cred ca era la nivel de facultate capitolul de unde am luat afirmatia. Momentan nu mai am cartea.

[Citat] [Citat] Ca fapt divers, despre ce carte este vorba? Probleme de matematici superioare de Stan Chirita. Avea si teorie, sumar. Dupa definitia limitei, dadea propozitia de mai sus, nu cred ca era la nivel de facultate capitolul de unde am luat afirmatia. Momentan nu mai am cartea.

Am refacut mesajul meu de mai sus, corectand o parte. Probabil trebuie revazuta acea parte.

[Citat] Am refacut mesajul meu de mai sus, corectand o parte. Probabil trebuie revazuta acea parte.

Am inteles problema cu continuitatea, dar tot n-am inteles-o pe cea cu punctele izolate.
Este adevarata sau nu propozitia respectiva, vorbind despre analiza reala?

Dar daca vorbim despre derivate.
Pentru ca o functie sa aibe derivata in a conditia:

este suficienta, sau

este necesara?

Sau daca avem

functia are derivata in a, dar nu este derivabila in a? In acest caz valoarea derivatei in a este

sau f'(a)?


Va multumesc!

[Citat] [Citat] Am refacut mesajul meu de mai sus, corectand o parte. Probabil trebuie revazuta acea parte. Am inteles problema cu continuitatea, dar tot n-am inteles-o pe cea cu punctele izolate. Este adevarata sau nu propozitia respectiva, vorbind despre analiza reala?

Este adevarat ca:

Orice functie este continua in orice punct izolat al domeniului sau de definitie.

[Citat] Dar daca vorbim despre derivate. Pentru ca o functie sa aibe derivata in a conditia: este suficienta,

Este. Atunci f'(a) exista si avem f'(a)=f_s'(a)=f_d'(a).

[Citat] sau este necesara?

Este. De observat ca aceste doua conditii pe care le mentionati, de fapt
sunt prin definitie echivalente.

[Citat] Sau daca avem

Prin definitie asa ceva este imposibil.

[Citat] Este. Atunci f'(a) exista si avem f'(a)=f_s'(a)=f_d'(a). Este. De observat ca aceste doua conditii pe care le mentionati, de fapt sunt prin definitie echivalente. Prin definitie asa ceva este imposibil.

Avem functia:

Atunci derivata functiei in punctul x=0, este 1 nu?
Nu ne intereseaza ce se intampla exact in punctul 0?

[Citat] Orice functie este continua in orice punct izolat al domeniului sau de definitie.

Ignoram definitia in acest caz particular?

[Citat] [Citat] Este. Atunci f'(a) exista si avem f'(a)=f_s'(a)=f_d'(a). Este. De observat ca aceste doua conditii pe care le mentionati, de fapt sunt prin definitie echivalente. Prin definitie asa ceva este imposibil. Avem functia: Atunci derivata functiei in punctul x=0, este 1 nu?

Corect!

[Citat] Nu ne intereseaza ce se intampla exact in punctul 0? Ba da! [Citat] Orice functie este continua in orice punct izolat al domeniului sau de definitie. Ignoram definitia in acest caz particular?

Punctul de abscisa x=0 nu este punct izolat al domeniului lui f, deci acea propozitie nu se aplica. Iata un exemplu, in care s-ar aplica propozititia:

Domeniul functiei este

si vedem ca x=0 este punct izolat al domeniului.

[Citat] Corect! Punctul de abscisa x=0 nu este punct izolat al domeniului lui f, deci acea propozitie nu se aplica. Iata un exemplu, in care s-ar aplica propozititia: Domeniul functiei este si vedem ca x=0 este punct izolat al domeniului.

Functia pe care am dat-o ca si exemplu, era strict despre discutia cu derivatele.
1.Despre derivate
Daca ar fi sa luam o functie g(x)=f '(x).

Atunci am avea

Dar avem:

Iar g(x)=f '(x).
De aici nelamurirea mea. Altfel zis, derivata are valoare intr-un punct dar nu este continua in acel punct.

2.Legat de propozitia cu continuitatea in punctele izolate. In exemplul dat de dumneavoastra, f este continua in 0, dar nu respecta definitia:

deoarece

nu exista.
Ignoram definitia in acest caz concret?

[Citat] Functia pe care am dat-o ca si exemplu, era strict despre discutia cu derivatele. 1.Despre derivate Daca ar fi sa luam o functie g(x)=f '(x). Atunci am avea Dar avem: Iar g(x)=f '(x). De aici nelamurirea mea. Altfel zis, derivata are valoare intr-un punct dar nu este continua in acel punct.

Asa cum ati scris mai sus avem f'(0)=1

[Citat] 2.Legat de propozitia cu continuitatea in punctele izolate. In exemplul dat de dumneavoastra, f este continua in 0, dar nu respecta definitia: deoarece nu exista. Ignoram definitia in acest caz concret?

Caracterizarea continuitatii cu ajutorul limitelor se aplica doar punctelor neizolate. Pentru cele izolate se arata ca functia este continua folosind definitia cu

si

.