daca A este o matrice patratica de ordinul 2 iar f(x)=x^2-tr(A)*x+det(A) este polinomul atasat matricei A cu radacinile x1,x2 complexe,sa se arate ca polinomul atasat matricei A^n are radacinile x1^n,x2^n.

[Citat] daca A este o matrice patratica de ordinul 2 iar f(x)=x^2-tr(A)*x+det(A) este polinomul atasat matricei A cu radacinile x1,x2 complexe,sa se arate ca polinomul atasat matricei A^n are radacinile x1^n,x2^n.

In orice algebra Banach, pentru orice element arbitrar a si polinom neconstant p avem

Ca idee, aratam incluziunea

. Daca

, polinomul

il scriem sub forma

Prin urmare

Deci cel putin unul dintre factorii din dreapta este neinversabil (!!!! acest fapt este trivial pentru matrici, dar mai putin trivial in cazul general; esential este ca factorii de mai sus comuta !!!). Adica exista un indice i cu proprietatea ca

. Dar atunci

.

Incluziunea celalta se demonstreaza in mod analog.

Multumesc! Totusi aceasta problema este dintr-o varianta de BAC-2007. Asta inseamna ca se poate rezolva si altfel,nu? Eu am incercat inductie dar intr-un anumit punct ma blochez!Asadar...?

[Citat] Multumesc! Totusi aceasta problema este dintr-o varianta de BAC-2007. Asta inseamna ca se poate rezolva si altfel,nu? Eu am incercat inductie dar intr-un anumit punct ma blochez!Asadar...?

Foarte posibil. Insa de ce sa umblam cu maruntisuri?

Daca nu ma insel, dv. trebuie sa fi trecut prin cursul de algebra liniara. Se poate gandi si in felul urmator: O radacina

a polinomului caracteristic este valoare proprie, adica admite vectori proprii:

unde v este un vector nenul. De aici este usor de aratat (prin inductie) ca

Prin urmare

este valoare proprie a matricii

, adica este radacina a polinomului caracteristic, etc.

Inca o data aveti dreptate!