1. Se da triunghiul ABC si AD bisectoarea unghiului A (AB<AC), D aparitne [BC] , P apartine [AB] , Q apartine [AC], M si N apartin [AD] astfel incat MP paralela cu BD si NQ paralela cu CD, iar PM=NQ. Sa se arate ca:
a) PMQN romb (am aratat)
b) dreptele CM ,BN si PQ sunt concurente (ma gandeam sa aplic CEva in triunghiul MNP, dar nu reusesc sa aflu rapoartele)

2. Sa se arate ca 2^2008 se poate scrie ca suma de 4 numere naturale patrate perfecte nenule (am aratat), apoi sa se arate ca 2^2009 nu se poate scrie ca suma de 4 numere naturale patrate perfecte nenule.

Pentru 2): Fie

numar natural. Daca

, atunci se poate observa usor ca fie

sunt toate pare, fie

sunt toate impare. In al doilea caz, inlocuind

cu

, etc., obtinem

, contradictie, caci membrul stang e numar impar. Atunci, daca

,

sunt toate pare. Simplificam cu 4, si obtinem

(am inlocuit

cu

, etc.) Simplificam din nou....
Se ajunge la

, care, evident, nu are solutii nenule.