1. Intr-un plan sunt situate 5 puncte astfel incat aria oricarui trunghi cu varfurile in aceste puncte nu intrece pe 1. Sa se arate ca toate punctele pot fi incluse intr-un patrulater de arie 3.
Ramane problema adevarata pentru 6 puncte?

2. fie x=-35m^3-5n+p si y=35n^3+5m-p. sa se arate ca:
a) exista m,n,p nr naturale nenule astfel incat x si y sa fie simultan divizibile cu 30.
b) oricare ar fi m,n,p nr intregi , x este divizibil cu 30 daca si numai daca y este divizibil cu 30.

Fie ABC triunghiul avand arie maxima dintre toate triunghiurile cu varfurile in cele 5 puncte. Ducand prin A,B,C, paralele la laturile opuse obtinem triunghiul A'B'C'. Este evident ca celelate 2 puncte, sa spunem D,E, se afla in interiorul sau pe laturile lui A'B'C' (altfel se contrazice maximalitatea ariei lui ABC).
Acum, daca D si E se afla amandoua intr-unul dintre triunghiurile A'BC, B'AC, C'AB, atunci toate cinci sunt intr-un paralelogram de arie 2. Daca, de exemplu, D este in A'BC iar E este in B'AC, atunci cele 5 puncte sunt in patrulaterul ABA'B' de arie evident 3.

Pentru 6 puncte raspunsul este negativ. Un hexagon regulat de latura

are aria 3 si nu poate fi inclus intr-un patrulater de aceeasi arie (asta daca n-am gresit la inmultiri )
Orice triunghi cu varfurile in 3 din cele 6 puncte are aria cel mult 1.

La problema 2, b): e suficient sa aratam ca

se divide cu 30. Dar

se divide cu 5, deci mai trebuie sa aratam ca se divide si cu 6. Insa

. E usor de aratat ca

si

se divid cu 6, fiind produse de 3 numere consecutive.

Punctul a) e acum evident, deoarece

poate lua orice valoare.