Se da un patrulater

si mijlocul diagonalei

.Construiti numai cu rigla negradata triunghiul

echivalent cu patrulaterul dat.

Notam cu O mijlocul diagonalei BD. Prelungim AO pana intalneste pe BC in P. AP va taia latura CD in M. Construim triunghiul BPD, unde O este mijlocul laturii BD, iar prin M sunt duse cevienele BF (F apartinand lui PD) si DC. Aplicand CEVA obtinem in triunghiul BPD : BC/CP * PF/FD * DO/BO = 1, ceea ce duce la relatia
BC/CP = FD/PF, adica CF||BD.

Prelungim acum AD pana taie pe CF in E (care va fi cel din cerinta problemei !!!), de unde rezulta ca CE||BD. Unind B cu E, segmentul BE va taia pe CD in S.

In trapezul BDEC (EC||BD), S este inersectia diagonalelor BE si CD, deci:
BS/SE = DS/SC => BS*SC = SE*SD => ... => aria BSC = aria DSE.

Dar, aria BSC + aria BSD = aria BCD
aria DSE + aria BSD = aria BED, de unde rezulta ca
aria BCD = aria BED.

In final, aria ABCD = aria ABD + aria BCD = aria ABD + aria BED = aria ABE.

-------------------------------

"Perfectiunea este norma cerului, dorinta de perfectiune este norma omului"

Cheia a fost "mijlocul" unei diagonale. Ideea dupa care am realizat rezolvarea a fost sa gasesc o paralela la CD si sa formez un trapez, in care se stie de egalitatea de arii !!

-------------------------

"Perfectiunea este norma cerului, dorinta de perfectiune este norma omului"

Rectific : : era vorba de o paralela la BD ! (a fost o greseala din cauza grabei)

--------------

"Perfectiunea este norma cerului, dorinta de perfectiune este norma omului"

super elegant!