se da triunghiul ABC dreptunghic in A cu unghiul B de 30 grade.se duce CD bisectoarea unghiului C, D pe segm AB. prin D se construieste DE paralela cu AC, E pe segm BC, iar F este mijlocul lui AC. Sa se arate ca DF este perpendiculara pe AE.

[Citat] se da triunghiul ABC dreptunghic in A cu unghiul B de 30 grade.se duce CD bisectoarea unghiului C, D pe segm AB. prin D se construieste DE paralela cu AC, E pe segm BC, iar F este mijlocul lui AC. Sa se arate ca DF este perpendiculara pe AE.

• Punctul D imparte imparte latura AB in raportul 1:2.
  
• Construim triunghiul echilateral A'BC al carui centru de greutate este punctul D. Evident, C,A,A' sunt colineare. Tot evident, A'D si BC sunt perpendiculare.
  
• Fie H mijlocul segmentului BD.
  
• Construim punctul A'', intersectia paralelei prin H la A'D cu dreapta AC.
  
• Dreptele DF si CH sunt paralele.
  
• La fel, dreptele AE si A''B sunt tot paralele.
  
• In triunghiul A''BC, punctul H este intersectia a doua inaltimi, corespunzatoare varfurilor A'' respectiv B. Prin urmare este ortocentrul acestui triunghi. Prin urmare dreapta CH este inaltime, Q.E.D.
  

O alta abordare posibila: Fie

mijlocul segmentului

. Atunci triunghiul

este echilateral, iar triunghiurile

sunt triunghiuri

, deci asemenea. Deducem ca

, dar cum

, obtinem

, de unde rezulta ca triunghiurile dreptunghice

si

sunt asemenea. Desigur, asta implica faptul ca unghiurile

si

sunt complementare, de unde

.