Sa se demonstreze ca daca

atunci |z|=1.
Ps.Scuze pentru titlu,dar mai am doar 3 cuvinte in vocabular...

[Citat] Sa se demonstreze ca daca atunci |z|=1. Ps.Scuze pentru titlu,dar mai am doar 3 cuvinte in vocabular...

Aceasta este o problema grea, care are (totusi!) o solutie industriala. Mai intai, notam cu

. Ecuatia este echivalenta cu

Deoarece

este suficient sa aratam ca toate radacinile polinomului cu coeficienti reali din membrul stang de mai sus sunt de modul egal cu 1. Mai exact, aratam ca ecuatia polinomiala de mai sus are 10 astfel de radacini.

Impartim totul la

. Ecuatia devine

Notand

, obtinem ecuatia

Explicatie.

Observam ca ecuatia are 5 radacini reale

De aici rezulta ca radacinile ecuatiei in necunoscuta

sunt radacinile ecuatiilor

care sunt IN NUMAR DE ZECE SI TOATE DE MODUL EGAL CU UNU.

P.S.Am facut cateva corecturi...

Despre polinoamale Hermite,Legendre,Cebisev am citit (probabil nu suficient)in "Polinoame si ec. algebrice" a domnului Panaitopol si mai am ceva amintiri de la cursul de analiza numerica...
Acum,intre noi fie vorba,problema e crunta...

[Citat] Despre polinoamale Hermite,Legendre,Cebisev am citit (probabil nu suficient)in "Polinoame si ec. algebrice" a domnului Panaitopol si mai am ceva amintiri de la cursul de analiza numerica... Acum,intre noi fie vorba,problema e crunta...

Nu se foloseste nimic special. Dupa cum stim

,

, s.a.m.d. Aceasta este una dintre modurile de a introduce polinoamele Cebisev.

In ceea ce priveste problema concreta, este posibil sa existe o solutie mai simpla (in acest CAZ PARTICULAR). Imi amintesc vag ca la concursul Putnam a fost propusa o problema similara.

De unde provine problema dv ?

In trecut am propus si noi o problema similara. De fapt, nu ne apartine. Acel polinom se numeste polinomul Lehmer, si este legat de o conjectura in teoria numerelor, inca nerezolvata!!!!!

Mi-au ramas niste probleme ale regretatului meu profesor de matematica,Dl.Bisboaca.S-ar putea sa fie vorba de aceeasi problema(Din pacate nu mai pot sa-l intreb)

E problema A3 de la Putnam 1989. Exista si solutii elementare.

Intr-adevar, urmarind aceasta discutie de pe mathlinks.ro, ultimul post contine o idee interesanta. Ecuatia poate fi rescrisa in mod echivalent astfel:

unde

apartine discului unitate deschis.
Termenul stang, notat in cele ce urmeaza cu

este cunoscut in analiza complexa sub numele de produs Blashke. Este usor de demonstrat ca orice functie de forma

trimite cercul unitate in cercul unitate, respectiv interiorul discului unitate in interiorul sau, respectiv acelasi lucru pentru exteriorul discului (exceptam punctele singulare).

In consecinta, conditia

immplica

.

Smecheria de mai sus apare in problemele de olimpiada. Este un caz fericit (dar izolat) ca ea functioneaza si la problema de fata.

[Citat] E problema A3 de la Putnam 1989. Exista si solutii elementare.

Iata o asemenea solutie:

Rearanjam ecuatia sub forma

deci

Atunci

si scriem aceasta relatie astfel

Al doilea factor este pozitiv, deci |z|=1.

[Citat] Este usor de demonstrat ca orice functie de forma trimite cercul unitate in cercul unitate, respectiv inetriorul discului unitate in interiorul sau, respectiv acelasi lucru pentru exteriorul discului (exceptam punctele singulare).

Asta e, de fapt, problema 40, capitolul Numere complexe din "renumita" culegere de algebra de Nita-Nastasescu.

[Citat] [Citat] Este usor de demonstrat ca orice functie de forma trimite cercul unitate in cercul unitate, respectiv inetriorul discului unitate in interiorul sau, respectiv acelasi lucru pentru exteriorul discului (exceptam punctele singulare). Asta e, de fapt, problema 40, capitolul Numere complexe din "renumita" culegere de algebra de Nita-Nastasescu.

Aha! Recunosc ca n-am deschis cam de mult acea culegere. Oricum, este remarcabil ce implicatii adanci poate avea un "amanunt" de genul celui citat.