| Autor |
Mesaj |
|
|
Sa se arate ca sin2 (2 radiani) este din R-Q (irational), stiind ca sin1 si cos1 (1 radian) sunt irationale.
---
Atentie, domnule Gadea, atentie
|
|
|
Va referiti la
sau la
(in radiani?). Oricum, amandoua sunt irationale...
|
|
|
sin1 si cos1 (1 radian) sunt irationale. Se arata usor folosind serii ca este asa. Problema este ca pt. a arata ca sin2 sau cos2 sunt irationale, nu mai merge tehnica cu serii.
---
Atentie, domnule Gadea, atentie
|
|
|
Deci care este modalitatea de rezolvare ?
---
Atentie, domnule Gadea, atentie
|
|
|
Presupunem ca
este un numar rational. Atunci si numerele
si
sunt tot rationale.
Rationand analog, deducem ca si numerele
,
si
sunt rationale.
Avem:
, contradictie (am obtinut o egalitate intre numarul irational
si numarul rational
).
Prin urmare,
este irational.
Observatie. In demonstratie am folosit, in mod repetat, formula
.
---
Q : How can we distinguish algebraists?
A : Just ask them what the group action is.
|
|
|
Da, corect. Problema este sa arat ca sin2 (2 RADIANI) e irational.Daca erau grade metoda de rezolvare era cea prezentata de dumneavoastra. Deci, fiind vorba de radiani, cum se face ?
---
Atentie, domnule Gadea, atentie
|
|
|
Numarul
este transcendent, prin urmare si numarul
este tot transcendent.
---
Euclid
|
|
|
Dar cum arat totusi ca este irational. Ca spre exemplu pot sa am a,b din R-Q si a+b sa fie din Q, sau a*b din Q. Cum arat riguros ?
---
Atentie, domnule Gadea, atentie
|
|
|
[Citat]
Dar cum arat totusi ca este irational. Ca spre exemplu pot sa am a,b din R-Q si a+b sa fie din Q, sau a*b din Q. Cum arat riguros ? |
Argumentul de mai sus este 100% riguros. Atata doar ca demonstratia faptului ca sin 1 este transcendent am pastrat-o sub tacere. Ea rezulta din teorema Weierstrass - Lindemann.
---
Euclid
|
|
|
Imi puteti da totusi o referinta (link ceva) pentru acea teorema, sau pentru demonstratia ca sin1 e transcendent ? Sau macar vreo indicatie ceva ? Va multumesc.
---
Atentie, domnule Gadea, atentie
|
|
|
[Citat]
Imi puteti da totusi o referinta (link ceva) pentru acea teorema, sau pentru demonstratia ca sin1 e transcendent ? Sau macar vreo indicatie ceva ? Va multumesc. |
Teorema (Lindemann - Weierstrass). Fie
numere algebrice distincte. Daca
si numerele
sunt algebrice atunci
Consecinta. Numarul
este transcendent.Demonstratie. Presupunem prin absurd contrariul. Atunci
Deoarece numerele
sunt algebrice si distincte, conform teoremei si ipotezei de reducere la absurd, rezulta
ceea ce este o contradictie.
---
Euclid
|
Access general
Conţine mesaje necitite
