Demonstrati prin metoda inductiei matematice inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwartz :

,

Sunt multe feluri elegante prin care se poate demonstra CBS, altfel decat prin inductie, dar, daca asta e cerinta..
Sa demonstram inegalitatea sub forma echivalenta

Cazul n=1 e imediat. Vom folosi inegalitatea

, care e valabila pentru

si e echivalenta cu

.
Astfel, pasul de inductie devine

Daca puteti va rog sa-mi aratati si alte moduri de rezolvare .

Definim functia

Evident ,

, pentru orice x real.
Urmeaza ca discriminantul ec. de gradul 2 in x este mai mic sau egal cu zero ,adica:
d=

-

este negativ , de unde inegalitatea ceruta.
Egalitatea are loc in cazul:a1/b1=...=an/bn.

Ps.Mai sunt si alte demonstratii elegante!