limita cand n tinde la infinit din n*I, cand I reprezinta integrala de la -1 la 0 din (x+e^x)^n dx, este? a-real

[Citat] limita cand n tinde la infinit din n*I, cand I reprezinta integrala de la -1 la 0 din (x+e^x)^n dx, este? a-real

Later edit. Mea culpa: rezolvarea de mai jos este gresita.

Aplicam teorema de medie pentru integrale si exista -1<c<0 astfel incat I=(c+e^c)^n. Studiind variatia functiei f(x)=x+e^x, se vede ca a=c+e^c se afla in intervalul (-1,1). Atunci limita cautata este

raspunsul dat de culegere este 1/2.

Da, e 1/2. Problema e ca, de fapt,

, adica

depinde de

. Atunci, daca

, limita lui

e in caz de nedeterminare.

Mai general, am descoperit (vorba vine...cu siguranta rezultatul e cunoscut de mult) ca daca

e derivabila, cu derivata nenula, si

, atunci

.

Daca notam

, integrand prin parti obtinem

Deoarece banuim ca este problema "de tip grila", bunul simt spune ca integralele din membrul drept converg la zero (deoarece f ia valori in [-1,0]). Limita este asadar 1/2.

In cazul unui examen adevarat partea de bun simt trebuie inlocuita cu un argument valid de tip 'epsilon-delta', sau cu o teorema de convergenta (care se invata abia in facultate).

[Citat] In cazul unui examen adevarat partea de bun simt trebuie inlocuita cu un argument valid de tip 'epsilon-delta', sau cu o teorema de convergenta (care se invata abia in facultate).

Nu cred ca e nevoie de asa ceva. E o trecere la limita obisnuita, dupa ce se efectueaza integrarea prin parti. Avem

. A doua integrala tinde, conform ipotezei, la 0.

[Citat] [Citat] In cazul unui examen adevarat partea de bun simt trebuie inlocuita cu un argument valid de tip 'epsilon-delta', sau cu o teorema de convergenta (care se invata abia in facultate). Nu cred ca e nevoie de asa ceva. E o trecere la limita obisnuita, dupa ce se efectueaza integrarea prin parti. Avem . A doua integrala tinde, conform ipotezei, la 0.

Mesajul meu se referea strict la problema concreta. In acest caz trebuie demonstrat ca

, ceea ce necesita putin efort deoarece f(0)=1.

Da, asa e. Nu e banal de dovedit asta.

Totusi, in cazul particular considerat, putem observa ca pentru

avem

si, de aici, rezultatul e imediat.

[Citat] Totusi, in cazul particular considerat, putem observa ca pentru avem si, de aici, rezultatul e imediat.

Corect!