fie x indice n , n mai mare sau egal cu 1, un sir de numere reale pozitive cu proprietatea x indice n mai mare sau egal cu 1+2/x indice n+1 mai mare sau egal cu x indice n +2, oricare n mai mare sau egal cu 1. sa se arate ca x indice n =2 pentru orice n mai mare sau egal cu 2. (multumesc anticipat)

Decat sa multumesti anticipat, mai bine invata Latex, ca sa putem si noi citi (nu ghici) enunturile, OK?

acesta este enuntul in carte. este un subiect de olimpiada la clasa a9a si am incercat sa il scriu cat mai explicit

[Citat] acesta este enuntul in carte. este un subiect de olimpiada la clasa a9a si am incercat sa il scriu cat mai explicit

Tot nu se intelege, ar trebui sa ghicim. Scrieti macar din ce carte si de ce este exercitiul important. Tare ma tem ca problema nu prea este de clasa a IX (cel putin solutia pe care o stiu eu necesita notiunea de limita).

nu stiu sa scriu in latex dar textul l-am verificat si acesta este. imi pare rau ca nu stiu sa va ofer o carte din care face parte dar este din o lista de probleme pe care ne-a dat-o domnul meu profesor sa le lucram pentru olimpiada de matematica. Mentionez ca e de clasa a9-a.

Mai intai enuntul:

Fie

un sir de numere reale strict pozitive astfel incat

Sa se demonstreze ca

Solutia I (de clasa XI-a): Sirul avand termeni pozitivi, avem

. De aici

. Deci

Repetam procesul:

, etc. Vom obtine ca exista un sir

, satisfacand

si pentru care avem

Trecem la limita cu

si conform criteriului clestelui obtinem

Solutia II (de clasa IX-a): Folosind faptul ca sirul are termeni pozitivi (deci vor fi mai mari decat 1 de fapt), inegalitatea stanga din enunt conduce la

La inegalitatea din dreapta schimbam

si vom avea

. Punand cap la cap cele doua inegalitati

Jucandu-ne iar cu cele doua inegalitati din enunt (doar ca luandu-le in ordine inversa) vom obtine si

Astfel avem

de unde concluzia din enunt.