Iata o problema care m-a incantat pe ziua de azi, dar pe care nu stiu de unde sa o apuc



Se considera 3 particule identice, p1,p2,p3 dispuse in varful unui triunghi echilateral de latura l. Particulele incep simultan sa se miste fiecare catre urmatoarea, cu viteze constante, egale (v), pe drumul cel mai scurt, deci nu pe laturile triunghiului.

Se cere sa se afle unde (geometric vorbind) si dupa cat timp se intalnesc, cunoscand doar l si v.



Intuitiv, sunt destul de sigur ca punctul de intalnire este centrul de greutate al triunghiului, pentru ca practic particulele vor forma tot timpul un triunghi echilateral asemenea cu cel initial (avand v=ct => distantele dintre ele scad proportional), rotit progresiv, iar miscarea va semana cu o spirala. Mai mult decat atat, triunghiurile succesive descrise vor fi toate centrate in G-ul triunghiului initial, deci e clar ca tot micsorandu-se, acolo se vor intalni.

Dar asta e mai mult o poveste. Matematica, ce spune?

Vezi http://cnx.org/content/m14030/latest/, ultimul exemplu.
Sau http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=1373131#1373131, postul #7

Multumesc foarte mult.


P.S. L-am rugat pe Cosoi sa faca un program care sa simuleze chestia asta si sa aiba si optiunea de a modifica latura triunghiului, viteza, sa uneasca particulele tot timpul, sa se vada ca fac un triunghi care se roteste si se micsoreaza si sa mai se vada si traiectoriile particulelor, "spirala" pe care o descriu.

Problema e de aici http://irodov.nm.ru/ebooks/Irodov_Problems_in_General_Physics.djvu

Da, vazusem de aseara de pe AoPS. Aveam culegerea, dar nu m-am uitat pe ea. Problema mi-o propusese un coleg, ca avand un substrat matematic mai pronuntat, zicea el

Daca presupunem ca triunghiul initial este centrat in origine, iar unul dintre varfuri este in punctul (1,0) atunci acest punct descrie curba de ecuatie (in coordonate polare)

Teoretic, acest punct va inconjura originea de o infinitate de ori, cu toate ca lungimea curbei este finita. Evident, in realitate acest lucru este imposibil.

Ahile si broasca testoasa

Foarte tare!